Question

2．如圖所示，豎直固定放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)為圓弧的最低點(diǎn)，圓弧的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小物體從斜面上的A點(diǎn)無(wú)初速滑下，已知小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）小物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)到左邊的最高點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差；
（2）小物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)圓弧軌道對(duì)它的最小支持力；
（3）物體在斜面上能夠通過(guò)的最大路程．

Answer 1

分析 （1）由幾何知識(shí)得知，斜面的傾角等于θ．從A到左邊最高點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求左邊的最高點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差．
（2）、（3）物體從A點(diǎn)無(wú)初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來(lái)越小，最終在BE圓弧上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負(fù)功，滑動(dòng)摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動(dòng)能定理求解總路程．
當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小，軌道對(duì)物體的支持力最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出最小速度，再由牛頓第二定律求解最小支持力．

解答 解：（1）設(shè)物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)到左邊的最高點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為h．從A到左邊最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mg（R-h）-μmgcosθ•Rcotθ=0
解得：h=R（1-μcosθcotθ）
（2）當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（E與B等高），設(shè)物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的最小速度為v_C，由動(dòng)能定理得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
設(shè)軌道對(duì)物體的最小支持力為F，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=3mg-2mgcosθ
（3）設(shè)物體在斜面上滑行的總路程為S．對(duì)物體從A到B（或E）的過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理得：
mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得：S=$\frac{R}{μ}$
答：（1）小物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)到左邊的最高點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差是R（1-μcosθcotθ）；
（2）小物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)圓弧軌道對(duì)它的最小支持力是3mg-2mgcosθ；
（3）物體在斜面上能夠通過(guò)的最大路程是$\frac{R}{μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行研究．