Question

19．宇航員在地球表面以一定的初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t落回原處；若在某星球表面以相同的速度豎直上拋一小球，則需經(jīng)5t時(shí)間落回原處．已知該星半徑與地球半徑之比為1：4，則（　　）

• A． 該星表面重力加速度與地球表面重力加速度之比為5：1
• B． 該星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為1：80
• C． 該星密度與地球密度之比為4：5
• D． 該星的“第一宇宙速度”與地球的第一宇宙速度之比為1：20

Answer 1

分析 通過豎直上拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間求出重力加速度之比，然后根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，求出中心天體的質(zhì)量比．根據(jù)密度的定義$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$計(jì)算密度之比．第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，根據(jù)重力加速度和星球半徑之比計(jì)算第一宇宙速度之比．

解答 解：A、設(shè)地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，根據(jù)$g=\frac{{v}_{0}}{t}$，知重力加速度之比等于它們所需時(shí)間之反比，地球上的時(shí)間與星球上的時(shí)間比1：5，則地球表面的重力加速度和星球表面重力加速度之比g：g′=5：1．故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．星球和地球表面的重力加速度之比為1：5，半徑比為1：4，所以星球和地球的質(zhì)量比M_星：M_地=1：80．故B正確．
C、根據(jù)密度的定義$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，所以$\frac{{ρ}_{星}}{{ρ}_{地}}=\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}×（\frac{{R}_{地}}{{R}_{星}}）^{3}=\frac{1}{80}×\frac{{4}^{3}}{1}=\frac{4}{5}$，故C正確．
D、第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，所以$\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{g′}{g}×\frac{R′}{R}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道豎直上拋運(yùn)動(dòng)上升階段和下降階段是對稱的，以及掌握萬有引力等于重力這一理論．