Question

9．如圖所示，正方形絕緣光滑水平臺(tái)面WXYZ邊長(zhǎng)l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔．電容器外的臺(tái)面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．電荷量q=5×10^-13 C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經(jīng)電場(chǎng)加速后由D板所開(kāi)小孔進(jìn)入磁場(chǎng)（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開(kāi)臺(tái)面．在微粒離開(kāi)臺(tái)面瞬時(shí)，靜止于X正下方水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時(shí)恰好與之相遇．假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)，極板間電場(chǎng)視為勻強(qiáng)電場(chǎng)，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求微粒在極板間所受電場(chǎng)力的大小并說(shuō)明兩板的極性；
（2）求由XY邊界離開(kāi)臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍；
（3）若微粒質(zhì)量m₀=1×10^-13kg，求滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度．

Answer 1

分析 （1）微粒在平臺(tái)上按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，由左手定則可判斷微粒的電性；在平行板電容器間加速，從而可判斷兩板的極性．
（2）微粒要由XY邊界離開(kāi)臺(tái)面，由兩個(gè)邊界條件：一個(gè)是從XY的左端離開(kāi)，再者是軌跡與YZ相切到達(dá)XY邊離開(kāi)臺(tái)面，做出兩種情況下的軌跡圖，從而可知軌跡半徑的范圍，再由微粒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，可求出微粒的質(zhì)量范圍．
（3）先由半徑公式結(jié)合微粒的質(zhì)量求出微粒的運(yùn)動(dòng)半徑，求出從XY邊緣離開(kāi)平臺(tái)時(shí)的位置及與XY邊的夾角，此后微粒做平拋運(yùn)動(dòng)，直到與滑塊相遇；滑塊做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合幾何關(guān)系，便可求出滑塊的初始速度

解答 解：（1）微粒在極板間所受電場(chǎng)力大小為：F=$\frac{qU}kgrmlgn$…①
代入數(shù)據(jù)得：F=1.25×10^-11 N…②

由微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可判斷微粒帶正電荷，微粒由極板間電場(chǎng)加速，故C板為正極，D板為負(fù)極．
（2）若微粒的質(zhì)量為m，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，由動(dòng)能定理有：Uq=$\frac{1}{2}$mv²…③
微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，若圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…④
微粒要從XY邊界離開(kāi)臺(tái)面，則圓周運(yùn)動(dòng)的邊緣軌跡如圖所示，半徑的極小值與極大值分別為：
R₁=$\frac{1}{2}l$…⑤
R₂=l-d…⑥
聯(lián)立③～⑥，代入數(shù)據(jù)，有：8.1×10^-14 kg＜m≤2.89×10^-13 kg…⑦
（3）如圖所示，微粒在臺(tái)面以速度v做以O(shè)點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，從臺(tái)面邊緣P點(diǎn)沿與XY邊界成θ角飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為Q，水平位移為s，下落時(shí)間為t．設(shè)滑塊質(zhì)量為M，滑塊獲得速度v₀后在t內(nèi)沿與平臺(tái)前側(cè)面成φ角方向，以加速度a做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到Q，經(jīng)過(guò)位移為k．由幾何關(guān)系有：cosθ=$\frac{l-R}{R}$…⑧
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)，有：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…⑨
s=vt…⑩
對(duì)于滑塊，由牛頓定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，有：
μMg=Ma…（11）
k=v₀t-$\frac{1}{2}$at²…（12）
再由余弦定理，k²=s²+（d+Rsinθ）²-2s（d+Rsinθ）cosθ…（13）
及正弦定理，$\frac{sinφ}{s}=\frac{sinθ}{k}$…（14）
聯(lián)立③、④和⑧～（14），并代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4.15 m/s…（15）
φ=arcsin0.8（或φ=53°）…（16）
答：（1）微粒在極板間所受電場(chǎng)力的大小1.25×10^-11N，C板為正，D板為負(fù)．
（2）由XY邊界離開(kāi)臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍為8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg．
（3）若微粒質(zhì)量m_o=1×10^-13kg，滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度為4.15m/s

點(diǎn)評(píng) 該題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)的應(yīng)用在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，盡管它只是起到運(yùn)算作用，但是如果忘記了三角函數(shù)公式是無(wú)法進(jìn)行下去的，自然得不到正確的結(jié)果．由于是物理試題，三角函數(shù)過(guò)程在解答過(guò)程可以不體現(xiàn)、只在草稿紙上畫(huà)．
此方面的問(wèn)題具體要做到以下兩點(diǎn)：
（1）能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論．
（2）必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析