Question

20．如圖（a）所示，兩條足夠長的光滑水平軌道MN和PK相距L=0.5m，右端接一阻值為R=0.3Ω的電阻，導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m=2kg、電阻為r=0.1Ω的導(dǎo)體棒ef，在虛線區(qū)域abcd內(nèi)存在垂直于導(dǎo)軌的勻強磁場，初始時刻導(dǎo)體棒ef與磁場右邊界bc之間的距離x₀=0.4m，磁感應(yīng)強度變化規(guī)律如圖（b）所示（規(guī)定磁感應(yīng)強度向上為正）．

（1）0～1.0s內(nèi)，在棒上施加一個大小隨時間變化的水平外力F的作用，保持棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，求t=0.6s時通過電阻R的電流；
（2）寫出0～1.0s內(nèi)，外力F隨時間t變化的關(guān)系式（規(guī)定向右為力的正方向）．
（3）若導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間存在一定的摩擦，動摩擦因數(shù)μ=0.5，t₀=1.0s時撤銷外力F，磁感應(yīng)強度不再變化，但磁場立即以a=4m/s²的加速度由靜止開始向左運動，求導(dǎo)體棒剛剛開始運動的時刻t（假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）．
（4）在第（3）問中，若t₂=2.0s以后導(dǎo)體棒運動的加速度恒定不變，求t₃=2.5s時導(dǎo)體棒的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合閉合電路歐姆定律，即可求解；
（2）根據(jù)安培力表達式，結(jié)合磁感應(yīng)強度的表達式，及平衡條件，即可求解；
（3）由安培力等于靜摩擦力，結(jié)合運動學(xué)公式，即可求解；
（4）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運動學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）0～1.0s內(nèi)，$k=\frac{△B}{△t}=\frac{8}{10}=0.8T/s$，
電動勢E=kLx₀=8×0.5×0.4V=1.6V 
感應(yīng)電流I=$I=\frac{E}{R+r}=\frac{1.6}{0.3+0.1}A$=4A
（2）0～1.0s內(nèi)，磁感應(yīng)強度表達式為B=8t-4   
安培力F_B=BIL=8（2t-1）N
導(dǎo)體棒受力平衡，施加外力F=F_B=8（1-2t）N
（3）導(dǎo)體棒受到的最大靜摩擦力F_f=μmg，剛啟動時安培力恰好與靜摩擦力F_f大小相等，BIL=μmg，$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{BL{{v}_1}}}{R+r}$，
此時磁場的速度${{v}_1}=\frac{μmg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$=$\frac{0.5×2×10×（0.3+0.1）}{{{4^2}×{{0.5}^2}}}m/s$=1m/s，
磁場由靜止開始運動的時間t₁=$\frac{{{{v}_1}}}{a}=\frac{1}{4}s=0.25s$，
導(dǎo)體棒啟動時刻為t′=t₀+t₁=1.0+t₁=1.25s   
（4）導(dǎo)體棒t₂=2.0s以后做勻變速運動的加速度與磁場運動的加速度相同，也為a=4m/s²，磁場與導(dǎo)體棒速度的差值△v將保持不變，根據(jù)牛頓第二定律：BIL-μmg=ma，
即$\frac{{{B^2}{L^2}△{v}}}{（R+r）}-μmg=ma$，
解出$△{v}=\frac{m（μg+a）（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}=\frac{2×（0.5×10+4）×（0.3+0.1）}{{{4^2}×{{0.5}^2}}}m/s$=1.8m/s  
t₃=2.5s時磁場運動的速度v₃=a（t₃-t₀）=4×（2.5-1.0）m/s=6m/s，
導(dǎo)體棒速度v=v=v₃-△v=（6-1.8）m/s=4.2m/s=4.2m/s
答：（1）t=0.6s時通過電阻R的電流4A；
（2）外力F隨時間t變化的關(guān)系式F=-F_B=8（1-2t）N；
（3）導(dǎo)體棒剛剛開始運動的時刻1.25s；
（4）t₃=2.5s時導(dǎo)體棒的速度4.2m/s．

點評 考查法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律，及牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握運動學(xué)公式選取，理解平衡條件的運用．