Question

4．如圖a所示，A、B為光滑水平地面上相距d的兩擋板，在A、B的之間有一質量為m的質點P．若在P上加上如圖b所示隨時間t變化的作用力F（取向右為F的正方向），在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為0．已知質點P能在A、B之間以最大的幅度運動而不與兩板相碰，且質點P開始從中點運動到最右邊，及以后每次從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的過程中，力F只改變一次．
（1）求質點P從AB的中點從靜止開始出發(fā)第一次運動到最右點的時間t；
（2）求圖b中時刻t₂、t₃和t_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）質點從B板向A板先做加速運動，后做減速運動，位移之和等于$\frac{1}{2}$d，由速度公式和位移公式列式求解t的表達式．
（2）尋找每次加速和減速的規(guī)律，得出t_n的表達式．

解答 解：（1）質點運動加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0時，P自A、B間的中點向右作初速為0的勻加速運動，加速度為g．經過時間t₁，P的速度變?yōu)関₁，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運動，再經過t₁，P正好達到B板且速度變?yōu)?．故有
v₁₌g t₁
0=v₁-gt₁
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$+v₁t₁-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$
由以上各式得t₁=t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac3nvxhh3{g}}$
得t=t₁+t₁=$\sqrt{2}$$\sqrt{\fraciua4n9p{g}}$
（2）P由B板處向左做勻加速運動，經過時間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向左．此時加速度變?yōu)橄蛴遥琍向左作勻減速運動，再經過t₃，P正好達到A板且速度變?yōu)?．故有
v₂=gt₂
0=v₂-gt₃
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$+v₂t₃-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{3}^{2}$
由以上各式得   t₂=t₃=$\sqrt{\frac3mrbe33{g}}$
則 t₂=t₁+t₁+t₂=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\fracj44bxkn{g}}$
質點P又由A板向右作勻加速運動，經過時間t₄，速度變?yōu)関₃，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運動，經過t₅，P正好達到B板且速度變?yōu)?．故有
v₃=gt₄
0=v₃-gt₅
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{4}^{2}$+v₃t₅-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{5}^{2}$
由上得 t₄=t₅=$\sqrt{\fracreikrua{g}}$
t₃=t₂+t₃+t₄=（$\sqrt{2}$+3）$\sqrt{\frace36f6dc{g}}$
根據上面分析，除第一次P從中點運動到最右點外，以后每次從從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的運動，都是先做勻加速運動，再做勻減速運動，且每次勻加速運動和勻減速運動的時間相等，即
t₂=t₃=t₄=t₅=…=$\sqrt{\fracowx8txc{g}}$
則t_n=t+（2n-3）t₂  （n≥2）
得t_n=（$\sqrt{2}$+2n-3$\sqrt{\frac8fkovzh{g}}$      （n≥2）
答：（1）質點P從AB的中點從靜止開始出發(fā)第一次運動到最右點的時間t為$\sqrt{2}\sqrt{\fracxhku3pv{g}}$；
（2）圖b中時刻${t}_{2}^{\;}、{t}_{3}^{\;}、{t}_{n}^{\;}$的表達式${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\fraccgnvyz3{g}}$、${t}_{3}^{\;}=（\sqrt{2}+3）\sqrt{\frac3mwzglm{g}}$、${t}_{n}^{\;}=（\sqrt{2}+2n-3）\sqrt{\fraci368we8{g}}$．

點評 本題是質點在周期性變化的作用力作用下的運動問題，分析質點的運動情況、把握運動規(guī)律是關鍵．