Question

7．如圖所示是為了檢驗(yàn)?zāi)撤N防護(hù)罩承受沖擊力的裝置，M是半徑為R=1.0m的固定于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平．N為待檢驗(yàn)的固定曲面，該曲面在豎直面內(nèi)的截面為拋物面，拋物面下端切線水平且恰好位于M軌道的圓心處，在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，拋物面的方程為y=$\frac{1}{2}$x²（x、y的單位均為m），M的下端相切處放置豎直向上的彈簧槍，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到槍口下方距槍口d=0.5m處后發(fā)射質(zhì)量不同的小鋼珠．小鋼珠的直徑略小于槍管的直徑，不計(jì)空氣阻力的影響，假設(shè)某次發(fā)射的質(zhì)量為m=0.01kg的小鋼珠a沿軌道恰好能經(jīng)過(guò)M的上端點(diǎn)，水平飛出后落到拋物面N的某一點(diǎn)上，取g=10m/s²．
（1）求發(fā)射該鋼珠前，彈簧的彈性勢(shì)能E_p；
（2）求小鋼珠a落到拋物面N上時(shí)的動(dòng)能E_k（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（3）若小鋼珠b的質(zhì)量為m₁=0.005kg，問(wèn)小鋼珠b能否到達(dá)M的上端點(diǎn)？若能，則求出此小鋼珠b在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)M的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）鋼珠沿軌道恰好能經(jīng)過(guò)M的上端點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出鋼球經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度．再根據(jù)能量守恒定律求解發(fā)射該鋼珠前，彈簧的彈性勢(shì)能E_p．
（2）鋼珠從最高點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，對(duì)水平和豎直兩個(gè)方向分別列方程，并結(jié)合兩個(gè)方向的位移關(guān)系：y=$\frac{1}{2}$x² ，求出豎直位移，再研究鋼球從M的最高點(diǎn)到打到N點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒求解小鋼珠a落到拋物面N上時(shí)的動(dòng)能E_k．
（3）假設(shè)小鋼珠b能到達(dá)M的上端點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出它到達(dá)M的上端點(diǎn)時(shí)的速度，與臨界速度比較，從而作出判斷．若能，根據(jù)牛頓定律求壓力．

解答 解：（1）設(shè)小鋼珠a在M軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，在最高點(diǎn)時(shí)有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 v=$\sqrt{10}$m/s
從發(fā)射到最高點(diǎn)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：E_p=mg（d+R）+$\frac{1}{2}$mv²
代人數(shù)據(jù)解得：E_p=0.4J
（2）鋼珠a從最高點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
   x=vt
   h=$\frac{1}{2}$gt²
據(jù)題，由幾何關(guān)系有  R-h=$\frac{1}{2}$x²
聯(lián)立解得 h=0.5m
從M的最高點(diǎn)到打到N點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒得：
  mgh+$\frac{1}{2}$mv²=E_k
代人數(shù)據(jù)解得：E_k=0.10J
（3）假設(shè)小鋼珠b能到達(dá)M的上端點(diǎn)，設(shè)b到達(dá)M的上端點(diǎn)速度為v_b．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  E_p=m₁g（d+R）+$\frac{1}{2}$m₁v_b²
代人數(shù)據(jù)解得：v_b=2$\sqrt{10}$m/s＞v=$\sqrt{10}$m/s
所以小鋼珠b能到達(dá)M的上端點(diǎn)．
在M的上端點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有
  m₁g+N=m₁$\frac{{v}_^{2}}{R}$
解得 N=0.15N
根據(jù)牛頓第三定律知，小鋼珠b在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)M的壓力大小是0.15N．
答：
（1）發(fā)射該鋼珠前，彈簧的彈性勢(shì)能E_p是0.4J．
（2）小鋼珠a落到拋物面N上時(shí)的動(dòng)能E_k是0.10J；
（3）若小鋼珠b的質(zhì)量為m₁=0.005kg，小鋼珠b能到達(dá)M的上端點(diǎn)，小鋼珠b在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)M的壓力大小是0.15N．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)重力恰好提供向心力求解出最高點(diǎn)速度是突破口，要抓住臨界條件：重力等于向心力，分析清楚能量的轉(zhuǎn)化情況，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式．