Question

如圖甲所示，間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強磁場．取垂直于紙面向里為磁場的正方向，磁感應強度隨時間的變化規(guī)律如圖乙所示．t＝0時刻，一質量為m、帶電荷量為＋q的粒子(不計重力)，以初速度v₀.由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場區(qū)．當B₀和T_B取某些特定值時，可使t＝0時刻入射的粒子經(jīng)Δt時間恰能垂直打在P板上(不考慮粒子反彈)．上述m、q、d、v₀為已知量．

　

圖甲　　　　　　　　　　圖乙

(1)若Δt＝T_B，求B₀；

(2)若Δt＝T_B，求粒子在磁場中運動時加速度的大小；

(3)若B₀＝，為使粒子仍能垂直打在P板上，求T_B.

Answer 1

解：(1)設粒子做圓周運動的半徑為R₁，由牛頓第二定律得qv₀B₀＝①

據(jù)題意由幾何關系得R₁＝d②

聯(lián)立①②式得B₀＝③

(2)設粒子做圓周運動的半徑為R₂，加速度大小為a，由圓周運動公式得a＝④

據(jù)題意由幾何關系得3R₂＝d⑤

聯(lián)立④⑤式得a＝⑥

(3)設粒子做圓周運動的半徑為R，周期為T，由圓周運動公式得T＝⑦

由牛頓第二定律得qv₀B₀＝⑧

由題意知B₀＝，代入⑧式得d＝4R⑨

粒子運動軌跡如圖所示，O₁、O₂為圓心，O₁O₂連接與水平方向的夾角為θ，在每個T_B內，

只有A、B兩個位置才有可能垂直擊中P板，且均要求0＜θ<，由題意可知T＝⑩

設經(jīng)歷完整T_B的個數(shù)為n(n＝0，1，2，3……)

若在A點擊中P板，據(jù)題意由幾何關系得

R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪

當n＝0時，無解⑫

當n＝1時，聯(lián)立⑨⑪式得θ＝(或sin θ＝)⑬

聯(lián)立⑦⑨⑩⑬式得T_B＝⑭

當n≥2時，不滿足0＜θ＜90°的要求⑮

若在B點擊中P板，據(jù)題意由幾何關系得R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯

當n＝0時，無解⑰

當n＝1時，聯(lián)立⑨⑯式得θ＝arcsin(或sin θ＝)⑱

聯(lián)立⑦⑨⑩⑱式得T_B＝⑲

當n≥2時，不滿足0＜θ＜90°的要求．⑳