Question

18．如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，半徑為R，一水平軌道與圓軌道相切，在水平光滑軌道上停著一個(gè)質(zhì)量為M=0.99kg的木塊，一顆質(zhì)量為m=0.01kg的子彈，以v₀=400m/s的水平速度射入木塊中，然后一起滑向軌道．（g取10m/s²）求：
（1）碰后子彈射入木塊后共同的速度為多大
（2）當(dāng)軌道半徑R為多大時(shí)，木塊和子彈恰好通過軌道最高點(diǎn)？
（3）當(dāng)圓軌道半徑R多大時(shí)，子彈和物塊平拋的水平距離最大，最大值多少？

Answer 1

分析 對(duì)子彈和木塊應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求出共同速度，對(duì)子彈、木塊由水平軌道到最高點(diǎn)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，取水平面為零勢(shì)能面，求出木塊到最高點(diǎn)時(shí)的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律表示出平拋的水平距離即可求解．

解答 解：（1）設(shè)碰后共同速度v₁，對(duì)子彈和木塊組成的系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律可列：mv₀=（m+M）v₁…①
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
（2）對(duì)子彈，木塊由水平軌道到最高點(diǎn)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，取水平地面為零勢(shì)面，設(shè)最高點(diǎn)速度為v₂有：
$\frac{1}{2}（m+M）{v_1}^2=\frac{1}{2}（m+M）{v_2}$²+（m+M）g•2R…②
又由木塊和子彈恰好通過最高點(diǎn)，可知，在最高點(diǎn)滿足：（M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…③
聯(lián)立②③并代入數(shù)據(jù)得：R=0.32m   
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$…④
x=v₂t…⑤
聯(lián)立②④⑤得：x=4$\sqrt{\frac{{-10{R^2}+4R}}{10}}$
由函數(shù)關(guān)系知，當(dāng)R=0.2m時(shí)平拋水平距離最大，最大值為：x_max=0.8m
答：（1）碰后子彈射入木塊后共同的速度為4m/s；
（2）當(dāng)軌道半徑R為0.32m時(shí)，木塊和子彈恰好通過軌道最高點(diǎn)；
（3）當(dāng)圓軌道半徑R為0.2m時(shí)，子彈和物塊平拋的水平距離最大，最大值0.8m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，常常是機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理與牛頓定律的綜合．子彈射擊木塊過程，基本的規(guī)律是動(dòng)量守恒．