Question

3．豎M向上的勻強(qiáng)電場E中，一質(zhì)量為m、帶電量+q的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），從水平面上的A點(diǎn)以初速度v₀水平向左運(yùn)動(dòng)，沿半圓形軌道恰好通過最高點(diǎn)C，場強(qiáng)大小E＜$\frac{mg}{q}$．
（1）試計(jì)算物塊在C點(diǎn)的速度和物塊在運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．
（2）證明物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強(qiáng)大小E無關(guān)，且為一常量．

Answer 1

分析 （1）物塊恰能通過圓弧最高點(diǎn)C，由重和電場力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊通過最高點(diǎn)C時(shí)的速度；
物塊在運(yùn)動(dòng)過程中，重力做負(fù)功，電場力做正功，摩擦力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服摩擦力做的功；
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可證明

解答 解：（1）物塊恰能通過圓弧最高點(diǎn)C，圓弧軌道此時(shí)與物塊間無彈力作用，物塊受到的重力和電場力提供向心力，則有
   mg-Eq=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$①
解得，v_c=$\sqrt{R（g-\frac{qE}{m}）}$②
物塊在由A運(yùn)動(dòng)到C的過程中，設(shè)物塊克服摩擦力做的功W_f，根據(jù)動(dòng)能定理有
  Eq•2R-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{c}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$ ③
解得，W_f=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R④
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為s，
  s=v_ct        ⑤
2R=$\frac{1}{2}$（g-$\frac{qE}{m}$）•t²⑥
由⑤⑥聯(lián)立解得
  s=2R           ⑦
因此，物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強(qiáng)大小E無關(guān)，大小為2R．
答：（1）物塊經(jīng)過最高點(diǎn)C的速度為$\sqrt{R（g-\frac{qE}{m}）}$；
物塊在運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R．
（2）證明見上

點(diǎn)評 本題是向心力與動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)等等知識的綜合，關(guān)鍵要抓住物塊恰能通過最高點(diǎn)C的臨界條件，求出臨界速度