Question

15．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的傾角θ=53°的直軌道AB，與一傾角可調(diào)的足夠長的直軌道BC順滑相連．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小物體從AB斜面上高為h=0.8m處靜止釋放，若將軌道BC調(diào)成水平，發(fā)現(xiàn)小物體最后靜止在水平軌道距上D點．其中BD=1m，假設(shè)物體在兩軌道上的動摩擦因數(shù)相同，不計空氣阻力及連接處的能量損失，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）物體與軌道的動摩擦因數(shù)；
（2）若將軌道BC調(diào)成與水平成37°，物體在BC軌道上能上升的最大高度；
（3）當(dāng)軌道BC與水平成的角度為多少時，小物體在軌道BC上升到最高時走過的路程最��？

Answer 1

分析 （1）對全過程運用動能定理，抓住動能變化量為零，求出動摩擦因數(shù)的大�。�
（2）對全過程運用動能定理，求出物體在BC軌道上能上升的最大高度．
（3）對全過程運用動能定理求出在BC軌道上走過路程s的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)三角函數(shù)求出路程最小時BC與水平方向的夾角．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理得，$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmg•{x}_{BD}=0$，
解得$μ=\frac{h}{{x}_{BD}+hcotθ}=\frac{0.8}{1+0.8×\frac{3}{4}}=0.5$．
（2）若將BC調(diào)成與水平成37°，設(shè)在BC上上升的最大高度為H，根據(jù)動能定理得，
$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}$-mgH-$μmgcosα•\frac{H}{sinα}=0$，
代入數(shù)據(jù)解得H=0.3m．
（3）根據(jù)動能定理得，$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-mgssinα-μmgcosα$•s=0，
解得s=$\frac{1}{2sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{5}sin（α+β）}$，tan$β=\frac{1}{2}$
由數(shù)學(xué)三角函數(shù)關(guān)系知，α=$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{1}{2}$時，s最�。�
答：（1）物體與軌道的動摩擦因數(shù)為0.5；
（2）物體在BC軌道上能上升的最大高度為0.3m；
（3）當(dāng)軌道BC與水平成的角度為$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{1}{2}$，小物體在軌道BC上升到最高時走過的路程最�。�

點評 本題考查了動能定理的基本運用，運用動能定理解題關(guān)鍵選擇好研究的過程，分析過程中有哪些力做功，再結(jié)合動能定理列式求解．對于第三問，對數(shù)學(xué)能力的要求較高，需加強這方面的訓(xùn)練．