Question

6．中國計劃在2017年實現(xiàn)返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，宇航員在月球上著陸后，將一個小球從距月球表面高度h處自由釋放，測得小球從靜止落到月球上的時間為t，不計阻力．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M_月；
（3）如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動的規(guī)律求月球表面的重力加速度
（2）根據(jù)重力等于萬有引力求月球質(zhì)量
（3）以最小速度發(fā)射的衛(wèi)星將貼著月球的表面運行，軌道半徑等于月球的半徑．根據(jù)萬有引力提供向心力求出最小的發(fā)射速度．

解答 解：（1）設月球表面的重力加速度為g，由自由落體運動可得：h=$\frac{1}{2}$gt²
得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）著陸器在月球表面所受的萬有引力等于重力，$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得${M}_{月}^{\;}=\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）衛(wèi)星繞月球表面運行，有$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
聯(lián)立得$v=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
答：（1）月球表面的重力加速度g為$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量${M}_{月}^{\;}$為$\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（3）如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力．并能靈活運用