Question

5．如圖所示，極地衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道），若已知一個極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向（逆時針方向）第一次運行至南緯60°正上方時所用時間為t，地球半徑為R（地球可看做均勻球體），地球表面的重力加速度為g，不考慮地球的自轉，引力常量為G，求：
（1）地球的質量M；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度h．

Answer 1

分析 1、根據(jù)地球表面重力等于萬有引力求解地球的質量；
2、根據(jù)題意得出衛(wèi)星周期，根據(jù)衛(wèi)星運動的向心力由地球對衛(wèi)星的萬有引力提供求解衛(wèi)星距地面的高度．

解答 解：（1）已知一個極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向（逆時針方向）第一次運行至南緯60°正上方時所用時間為t，
剛好為運動周期的$\frac{1}{4}$T，所以衛(wèi)星運行的周期為4t，
根據(jù)地球表面重力等于萬有引力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
（2）衛(wèi)星運動的向心力由地球對衛(wèi)星的萬有引力提供，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，GM=gR²，
解得：h=$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球的質量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度是$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R．

點評 靈活運動用重力和萬有引力相等以及萬有引力提供圓周運動的向心力是解決本題的關鍵．