Question

5．如圖所示，極地衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過(guò)地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道），若已知一個(gè)極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向（逆時(shí)針?lè)较颍┑谝淮芜\(yùn)行至南緯60°正上方時(shí)所用時(shí)間為t，地球半徑為R（地球可看做均勻球體），地球表面的重力加速度為g，不考慮地球的自轉(zhuǎn)，引力常量為G，求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度h．

Answer 1

分析 1、根據(jù)地球表面重力等于萬(wàn)有引力求解地球的質(zhì)量；
2、根據(jù)題意得出衛(wèi)星周期，根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供求解衛(wèi)星距地面的高度．

解答 解：（1）已知一個(gè)極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向（逆時(shí)針?lè)较颍┑谝淮芜\(yùn)行至南緯60°正上方時(shí)所用時(shí)間為t，
剛好為運(yùn)動(dòng)周期的$\frac{1}{4}$T，所以衛(wèi)星運(yùn)行的周期為4t，
根據(jù)地球表面重力等于萬(wàn)有引力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
（2）衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，GM=gR²，
解得：h=$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球的質(zhì)量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度是$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 靈活運(yùn)動(dòng)用重力和萬(wàn)有引力相等以及萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是解決本題的關(guān)鍵．