Question

18．2006年我國將完成“嫦娥奔月工程”．據(jù)介紹，“嫦娥奔月工程”分為“環(huán)繞、降落、返回”三個(gè)階段實(shí)施，第一階段，將發(fā)射月球探測(cè)衛(wèi)星環(huán)月飛行，進(jìn)行遙感探測(cè)；第二階段，探測(cè)器將在月球“軟著陸”，我國第一個(gè)高90cm質(zhì)量35kg的月球機(jī)器人--“喀嗎哆”將登落月球，安放炸彈實(shí)現(xiàn)月巖爆破；采集回收礦物質(zhì)標(biāo)本；尋找水或冰存在的證據(jù)等；第三階段，將超越神話中的“嫦娥”，不僅上得去，還要順利返回地面．求：
①設(shè)繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約約為多大？
②在探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落在月球表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．假設(shè)著陸器第一次落到月球表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，求它在第二次落到月球表面時(shí)速度的大小．計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力．已知月球某一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，月球可視為半徑為r₀的均勻球體．
③當(dāng)“嫦娥1號(hào)”飛船返回艙降落距地面100m髙度時(shí)，速度為10m/s，回收著陸系統(tǒng)啟動(dòng)，拉出主傘，主傘展開面積足夠大，由于空氣阻力作用有一段豎直減速下落過程，若空氣阻力與速度平方成正比，即f=kv²（k為比例系數(shù)）并已知返回艙的質(zhì)量為3×10³kg（傘的質(zhì)量忽略不計(jì)），這一過程最終豎直勻速下降時(shí)的收尾速度為8m/s，求在這一過程中空氣阻力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度．探月衛(wèi)星貼近月球表面，運(yùn)行的速率即為月球的第一宇宙速度．根據(jù)月球質(zhì)量和地球質(zhì)量的關(guān)系，月球半徑和地球半徑的關(guān)系，根據(jù)第一宇宙速度的表達(dá)式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的關(guān)系，從而求出月球的第一宇宙速度大��；
（2）在月星表面，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式．研究衛(wèi)星繞月星做圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由萬有引力提供列出等式．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決問題；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：①根據(jù)萬有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
已知月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，
地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，
月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度之比是$\frac{2}{9}$，則月球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{2}{9}$倍，大約1.76km/s．
②解：對(duì)火星表面的某一物體，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$G\frac{Mm}{{{r}_{0}}^{2}}$=mg
對(duì)飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
著陸器從最高點(diǎn)到第二次落到火星表面做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解得：
v_x=v₀
v_y²=2gh
v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$
由以上各式解得：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{{r}_{0}}^{2}{T}^{2}}}$
③對(duì)整個(gè)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgh+{W}_{f}$
解得：W_f=-3.054×10⁶J
答：①該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約約為1.76km/s；
②它在第二次落到月球表面時(shí)速度的大小為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{{r}_{0}}^{2}{T}^{2}}}$；
③在這一過程中空氣阻力做的功為-3.054×10⁶J．

點(diǎn)評(píng) 要求解一個(gè)物理量大小，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先表示出來，再根據(jù)已知量進(jìn)行求解，知道重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量，向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．