Question

5．如圖所示，“∠”形擋板ABC夾角θ為60°且BC板水平，AB板上有一個(gè)小孔D，BD間的距離為b，一水平放置的平行板電容器板間距離為d，板長(zhǎng)L=$\sqrt{3}$d，下板的右端緊靠D孔．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子組成的粒子束，以速度v₀從電容器的中央水平射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，并恰好射入D孔（不計(jì)粒子所受的重力）．
（1）求在D點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)粒子的速度；
（2）如果在AB和BC兩板所夾的區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使從小孔D飛入的這些粒子打不到BC板，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的最小值；
（3）如果在AB和BC兩擋板間，只有一部分區(qū)域存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．要使從小孔D飛入的這些粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打到水平擋板BC上（之前與擋板沒(méi)有碰撞），求磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度B₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）要使粒子不打在BC板上，根據(jù)幾何關(guān)系知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與BC板相切，由幾何關(guān)系求出粒子相切時(shí)的軌道半徑，再根據(jù)半徑公式求得滿足條件的磁場(chǎng)最小值；
（3）粒子從射入電場(chǎng)后做從D點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板BC板上，根據(jù)幾何關(guān)系作出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)臨界條件求出滿足條件的半徑的臨界值，根據(jù)半徑公式求得磁場(chǎng)的最小值即可．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，得

$\sqrt{3}d={v}_{0}t$      ①
$\fracc0enr9v{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$        ②
v_y=at     ③
設(shè)速度偏向角為α，則有：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以α=30°
所以$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，方向與AB板垂直．
（2）如圖所示，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子不打到擋板BC，則粒子的圓周軌道恰與BC板相切．

根據(jù)幾何關(guān)系得：（r₁+b）sin60°=r₁      ④
由軌道半徑公式有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$      ⑤
代入$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，由④⑤兩式得：
B₁的最小值為B_1min=$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$
（3）如圖所示，

粒子從D點(diǎn)入射后做勻速直線運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板BC，則粒子需偏轉(zhuǎn)300°后從E射出，做勻速直線運(yùn)動(dòng)垂直打到BC．
粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，即
Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{r}$       ⑥
可得B=$\frac{mv}{qr}$        ⑦
要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好跟兩擋板相切，如圖所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O、交點(diǎn)G位于∠ABC的角平分線上，則由幾何關(guān)系可得：
CDD′F是邊長(zhǎng)為r的正方形．則在三角形BOF中，由幾何知識(shí)得：
$\frac{r}{tan30°}=a+r$
解得：$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$
將$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$和$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$代入⑦可得，B_2min=$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$
答：（1）在D點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)粒子的速度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）如果在AB和BC兩板所夾的區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使從小孔D飛入的這些粒子打不到BC板，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的最小值為$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$；
（3）如果在AB和BC兩擋板間，只有一部分區(qū)域存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．要使從小孔D飛入的這些粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打到水平擋板BC上（之前與擋板沒(méi)有碰撞），磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度B₂的最小值為$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式的應(yīng)用，要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好跟兩擋板相切，要求同學(xué)們能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．