Question

4．如圖所示，某貨場而將質(zhì)量為m₁=100kg的貨物（可視為質(zhì)點）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物中軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8m．地面上緊靠軌道次排放兩聲完全相同的木板A、B，長度均為l=2m，質(zhì)量均為m₂=100kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道的壓力．
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應(yīng)滿足的條件．
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運(yùn)動的時間．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出到達(dá)底端時的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道的壓力大��；
（2）貨物滑上木板A時，木板不動，說明此時貨物對木板的摩擦力小于地面對木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時，木板B開始滑動，說明此時貨物對木板的摩擦力大于了地面對貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)的范圍．
（3）當(dāng)μ₁=0.5時，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動，貨物做的是勻減速直線運(yùn)動，位移是木板的長度L，由勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可以求得．

解答 解：（1）設(shè)貨物滑到圓軌道末端是的速度為v₀，對貨物的下滑過程中根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$mgR=\frac{1}{2}{m_1}v_0^2$…①
設(shè)貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得：${F_N}-{m_1}g={m_1}\frac{v_0^2}{R}$…②
聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得：F_N=3mg=3000N…③
根據(jù)牛頓第三定律，貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道的壓力大小為3000N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得：μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…④
若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得：μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…⑤
聯(lián)立④⑤式代入數(shù)據(jù)得：0.4＜μ≤0.6…⑥．
（3）μ₁=0.5，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動．設(shè)貨物在木板A上做減速運(yùn)動時的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得：
μ₁m₁g=m₁a₁ …⑦
設(shè)貨物滑到木板A末端是的速度為v₁，由運(yùn)動學(xué)公式得：$v_1^2-v_0^2=-2{a_1}l$…⑧
聯(lián)立①⑦⑧式代入數(shù)據(jù)得：v₁=4m/s…⑨
設(shè)在木板A上運(yùn)動的時間為t，由運(yùn)動學(xué)公式得：
v₁=v₀-a₁t…⑩
聯(lián)立①⑦⑨⑩式代入數(shù)據(jù)得：t=0.4s．
答：（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時對軌道的壓力是3000N；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，μ₁應(yīng)滿足的條件是0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運(yùn)動的時間是0.4s．

點評 本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動和牛頓運(yùn)動定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動時木板的運(yùn)動狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時木板的受力不一樣．