Question

9．如圖所示，固定的光滑平臺上固定有光滑的半圓軌道，軌道半徑R=0.6m．平臺上靜止著兩個滑塊A、B，m_A=0.1kg，m_B=0.2kg，兩滑塊間夾有少量炸藥，平臺右側有一帶擋板的小車，靜止在光滑的水平地面上．小車質量為M=0.3kg，車面與平臺的臺面等高，小車的上表面的右側固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點，小車的上表面左端點P與Q點之間是粗糙的，滑塊B與PQ之間表面的動摩擦因數為μ=0.2，Q點右側表面是光滑的．點燃炸藥后，A、B分離瞬間A滑塊獲得向左的速度v_A=6m/s，而滑塊B則沖向小車．兩滑塊都可以看作質點，炸藥的質量忽略不計，爆炸的時間極短，爆炸后兩個物塊的速度方向在同一水平直線上，且g=10m/s²．求：

（1）滑塊A在半圓軌道最高點對軌道的壓力；
（2）若L=0.8m，滑塊B滑上小車后的運動過程中彈簧的最大彈性勢能；
（3）要使滑塊B既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離L應在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）A從最低點到達最高點過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律或動能定理列方程求出A到達最高點時的速度．A在最高時，由合力提供向心力，應用牛頓第二定律列方程求出A受到的支持力，然后由牛頓第三定律求出壓力．
（2）炸藥爆炸過程A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出B的速度．B與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢能．
（3）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車具有共同的末速度，根據滑塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒求出共同速度．若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊還沒與彈簧接觸就已經與小車相對靜止，由能量守恒定律求出對應的L．若小車PQ之間的距離L不是很大，滑塊恰好回到小車的左端P點處，由能量守恒定律求得對應的L，從而得到L的范圍．

解答 解：（1）A從軌道最低點到軌道最高點，由機械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}{m_A}υ_A^2-\frac{1}{2}{m_A}{υ^2}={m_A}g×2R$
A在最高點時，由牛頓第二定律得：
  m_Ag+F_N=m_A$\frac{{v}^{2}}{R}$
滑塊在半圓軌道最高點受到的壓力為：F_N=1N 
由牛頓第三定律得：滑塊在半圓軌道最高點對軌道的壓力大小為1N，方向豎直向上．
（2）爆炸過程，取向左為正方向，由動量守恒定律得：
   m_Av_A-m_Bv_B=0
解得：v_B=3m/s；
滑塊B沖上小車后將彈簧壓縮到最短時，彈簧具有最大彈性勢能，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
  m_Bv_B=（m_B+M）v_共
由能量守恒定律得：
   E_P=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²-$\frac{1}{2}$（m_B+M）v_共²-μm_BgL
解得：E_P=0.22J；
（3）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車具有共同的末速度，設為u，滑塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，有
  m_B v_B=（M+m_B）u
若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊還沒與彈簧接觸就已經與小車相對靜止，
設滑塊恰好滑到Q點，由能量守恒定律得
   $μ{m_B}g{L_1}=\frac{1}{2}{m_B}υ_B^2-\frac{1}{2}（{m_B}+M）{u^2}$
聯立解得  L₁=1.35 m
若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點右側是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，由能量守恒定律得   $2μ{m_B}g{L_2}=\frac{1}{2}{m_B}υ_B^2-\frac{1}{2}（{m_B}+M）{u^2}$
聯立式解得 L₂=0.675 m
綜上所述，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應滿足的范圍是 0.675 m＜L＜1.35m  
答：
（1）滑塊在半圓軌道最高點對軌道的壓力大小為1N，方向豎直向上．
（2）滑塊B滑上小車后的運動過程中彈簧的最大彈性勢能為0.22J．
（3）PQ之間的距離L應滿足的范圍是 0.675 m＜L＜1.35m．

點評 本題過程比較復雜，分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關鍵，確定研究對象與研究過程，應用牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．