Question

【題目】如圖所示，在水平面上有一彈簧，其左端與墻壁相連，O點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置，O點(diǎn)左側(cè)水平面光滑．水平段OP長(zhǎng)L=1m，P點(diǎn)右側(cè)一與水平方向成θ=30°的足夠長(zhǎng)的傳送帶與水平面在P點(diǎn)平滑連接，皮帶輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速率為3m/s．一質(zhì)量為1kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊A壓縮彈簧（與彈簧不栓接），使彈簧獲得彈性勢(shì)能Ep=9J，物塊與OP段動(dòng)摩擦因素μ1=0．1．另一與A完全相同的物塊B停在P點(diǎn)，B與傳送帶的動(dòng)摩擦因素μ2=，傳送帶足夠長(zhǎng)．A與B的碰撞時(shí)間不計(jì)，碰后A、B交換速度，重力加速度g=10m/s2，現(xiàn)釋放A，求：

（1）物塊A、B第一次碰撞前瞬間，A的速率v0；

（2）從A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B與傳送帶之間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量；

（3）A、B能夠碰撞的總次數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）物塊A、B第一次碰撞前瞬間，A的速率為4m/s；

（2）從A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B與傳送帶之間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為12．25J；

（3）A、B能夠碰撞的總次數(shù)為6次．

【解析】

試題分析：（1）從釋放到與B碰撞前的過(guò)程，對(duì)A和系統(tǒng)運(yùn)用功能關(guān)系列式，即可求解物塊A與B第一次碰撞前的速度；

（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后A、B的速度．B獲得速度后碰后B沿皮帶輪向上勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零，然后向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，分段求出時(shí)間和位移；最后結(jié)合公式Q=f△S求解熱量．

（3）B與A第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后A向左運(yùn)動(dòng)再返回時(shí)與B碰撞，B沿皮帶輪向上運(yùn)動(dòng)再原速返回，重復(fù)這一過(guò)程直至兩者不再碰撞．每一次過(guò)程中損失的機(jī)械能為2μ1mgl，根據(jù)整個(gè)過(guò)程能量守恒列式求解A、B碰撞的次數(shù)．

解：（1）設(shè)物塊質(zhì)量為m，A與B第一次碰前的速度為v0，則：

解得：v0=4m/s

（2）設(shè)A、B第一次碰撞后的速度分別為vA、vB，則vA=0，vB=4m/s，碰后B沿傳送帶向上勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零，加速度大小設(shè)為a1，則：mgsinθ+μ2mgcosθ=ma1，解得：a1=gsinθ+μ2gcosθ=10m/s2

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

位移=0．8m

此過(guò)程相對(duì)運(yùn)動(dòng)路程△s1=vt1+x1=2m

此后B反向加速，加速度仍為a1，與傳送帶共速后勻速運(yùn)動(dòng)直至與A再次碰撞，加速時(shí)間為=0．3s

位移為

此過(guò)程相對(duì)運(yùn)動(dòng)路程△s2=vt2﹣x2=0．45m

全過(guò)程生熱Q=μ2mgcosθ（△s1+△s2）=12．25J

（3）B與A第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后A向左運(yùn)動(dòng)再返回與B碰撞，B沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)再次返回，每次碰后到再次碰前速率相等，重復(fù)這一過(guò)程直至兩者不再碰撞．

則對(duì)A、B和彈簧組成的系統(tǒng)，從第二次碰撞后到不再碰撞：=2nμ1mgL

解得第二次碰撞后重復(fù)的過(guò)程數(shù)為n=2．25

所以碰撞總次數(shù)為N=2+2n=6．5=6次（取整數(shù)）