Question

12．如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中固定有一絕緣軌道，此軌道由水平軌道和與水平軌道相切與B點(diǎn)的豎直半圓軌道組成．水平軌道上A點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，半徑OC與豎直半徑OB的夾角為37°現(xiàn)一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后沿半圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)并恰好能從D點(diǎn)飛出．已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=$\frac{2mg}{3q}$，其中g(shù)為重力加速度，A點(diǎn)的電勢(shì)為零，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)一切摩擦．求：
（1）最高點(diǎn)D的電勢(shì)φ_D以及小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（2）小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)軌道受到的壓力．（提示：小球在圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一點(diǎn)，向心力公式都成立）

Answer 1

分析 （1）由U=EL求出AB間的電勢(shì)差，得到AD間的電勢(shì)差，即可求得最高點(diǎn)D的電勢(shì)．由動(dòng)能定理求B點(diǎn)的速度．
（2）由動(dòng)能定理求出小球通過(guò)C點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式求解軌道對(duì)小球的支持力，從而得到壓力．

解答 解：（1）AB間的電勢(shì)差為 U_AB=EL
B、D兩點(diǎn)的電勢(shì)差相等，則AD間的電勢(shì)差為 U_AD=U_AB=EL
A點(diǎn)的電勢(shì)為零，則D的電勢(shì) φ_D=-U_AD=-EL
小球從A到B，由動(dòng)能定理得
  qEL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又E=$\frac{2mg}{3q}$
解得 v_B=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$
（2）從A到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
  qEL-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點(diǎn)有 mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 R=$\frac{4}{15}$L
從A到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
  qE（L+R）-mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點(diǎn)有 N-mgcos37°-qEsin37°=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=$\frac{56}{15}$mg
即得小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)軌道受到的壓力為$\frac{56}{15}$mg．
答：
（1）最高點(diǎn)D的電勢(shì)φ_D是-EL，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B是$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$．
（2）小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)軌道受到的壓力是$\frac{56}{15}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握臨界狀態(tài)的條件：最高點(diǎn)由重力充當(dāng)向心力．要知道：在C點(diǎn)，由指向圓心的合力提供向心力．