Question

13．水星最接近太陽(yáng)，是太陽(yáng)系中的第二個(gè)小行星，水星的質(zhì)量相當(dāng)于地球質(zhì)量的$\frac{1}{20}$，由于水星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的0.4倍（水星軌道和地球軌道都可以近似地看成圓軌道），所以水星上的“一年”比地球上的“一年”短得多．求：
（1）太陽(yáng)對(duì)水星的引力和太陽(yáng)對(duì)地球的引力之比．
（2）水星上的“一年”是地球上的“一年”的多少倍．

Answer 1

分析 1、太陽(yáng)對(duì)行星的萬有引力為$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，由于GM不變，所以$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$∝$\frac{m}{{r}^{2}}$，根據(jù)水星和地球的質(zhì)量之比和軌道半徑之比，計(jì)算F之比即可．
2、太陽(yáng)對(duì)行星的萬有引力等于向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，根據(jù)水星和地球的軌道半徑之比，即可計(jì)算它們的周期之比．

解答 解：（1）太陽(yáng)對(duì)行星的引力為$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
所以得$\frac{{F}_{水星}}{{F}_{地球}}=\frac{{m}_{水星}{{r}_{地球}}^{2}}{{m}_{地球}{{r}_{水星}}^{2}}$=$\frac{1}{20}×（\frac{1}{0.4}）^{2}$=$\frac{5}{16}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
則$\frac{{T}_{水星}}{{T}_{地球}}=（\frac{{r}_{水星}}{{r}_{地球}}）^{\frac{3}{2}}$=$（{0.4）}^{\frac{3}{2}}$=0.25
答：（1）太陽(yáng)對(duì)水星的引力和太陽(yáng)對(duì)地球的引力之比為$\frac{5}{16}$．
（2）水星上的“一年”是地球上的“一年”的0.25倍．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．