Question

5．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，自轉(zhuǎn)周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若某運動員在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下述分析正確的是（　�。�

• A． 火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g
• B． 火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{1}{3}$倍
• C． 運動員以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度是$\frac{4}{9}$h
• D． 火星的同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球的同步衛(wèi)星的軌道半徑的 $\root{3}{\frac{1}{9}}$ 倍

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力，得出重力加速度的關(guān)系，從而得出上升高度的關(guān)系；根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解軌道半徑的關(guān)系；根據(jù)萬有引力等于向心力求出第一宇宙速度的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力定律的表達(dá)式$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$得到：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，則$\frac{{g}_{火}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{火}^{\;}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}^{\;}{R}_{火}^{2}}=\frac{1}{9}×\frac{4}{1}=\frac{4}{9}$，則火星表面重力加速度是${g}_{火}^{\;}=\frac{4}{9}{g}_{地}^{\;}=\frac{4}{9}g$，故A正確；
B、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得到$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度之比為$\frac{{v}_{火}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}^{\;}{R}_{地}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}{R}_{火}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{9}×\frac{2}{1}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，則火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故B錯誤；
C、運動員以${v}_{0}^{\;}$在地球起跳時，根據(jù)豎直上拋的運動規(guī)律得出：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，$h∝\frac{1}{g}$，所以$\frac{{h}_{火}^{\;}}{h}=\frac{g}{{g}_{火}^{\;}}=\frac{9}{4}$，得${h}_{火}^{\;}=\frac{9}{4}h$，他以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度$\frac{9}{4}h$，故C錯誤；
D、同步衛(wèi)星的周期等于星球的自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得到$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，因為自轉(zhuǎn)周期也基本相同，所以$r∝\root{3}{M}$，所以$\frac{{r}_{火}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=\root{3}{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}}=\root{3}{\frac{1}{9}}$，即火星的同步軌道半徑是地球的同步軌道半徑的$\root{3}{\frac{1}{9}}$倍，故D正確
故選：AD

點評 通過物理規(guī)律把進行比較的物理量表示出來，再通過已知的物理量關(guān)系求出問題是選擇題中常見的方法．把星球表面的物體運動和天體運動結(jié)合起來是考試中常見的問題．