Question

3．石墨烯是近些年發(fā)現(xiàn)的一種新材料，其超高強(qiáng)度及超強(qiáng)導(dǎo)電、導(dǎo)熱等非凡的物理化學(xué)性質(zhì)有望使21世紀(jì)的世界發(fā)生革命性的變化，其發(fā)現(xiàn)者由此獲得2010年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．用石墨烯制作超級(jí)纜繩，人類搭建“太空電梯”的夢(mèng)想有望在本世紀(jì)實(shí)現(xiàn)．科學(xué)家們?cè)O(shè)想，通過地球同步軌道站向地面垂下一條纜繩至赤道基站，電梯倉(cāng)沿著這條纜繩運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)外太空和地球之間便捷的物資交換．（地面附近重力加速度g取10m/s²，地球自轉(zhuǎn)角速度ω=7.2×10^-5rad/s，地球半徑R=6.4×10³km．計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
（1）若“太空電梯”將貨物從赤道基站運(yùn)到距地面高度為h₁=$\frac{17}{3}$R的同步軌道站，求軌道站內(nèi)的人相對(duì)地心運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（2）當(dāng)電梯倉(cāng)停在距地面高度h₂=2R的站點(diǎn)時(shí)，求倉(cāng)內(nèi)質(zhì)量m₂=54kg的人對(duì)水平地板的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橥�步軌道站與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)軌道半徑求出軌道站的線速度．
（2）根據(jù)向心加速度的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出人對(duì)水平地板的壓力大小．

解答 解：（1）設(shè)貨物相對(duì)地心的距離為r₁，線速度為v₁，則
r₁=R+h₁                                                    
v₁=ωr₁
帶入數(shù)據(jù)得：v₁=3.07×10³m/s                        
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，人相對(duì)地心的距離為r₂，則有：
r₂=R+h₂
設(shè)水平地板對(duì)人的支持力大小為F_N，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
$G\frac{Mm}{r_2^2}-{F_N}=m{ω^2}{r_2}$
又$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
根據(jù)牛頓第三定律，人對(duì)水平地板的壓力大小F_N'=F_N
得：F_N'=54.6N                                
答：（1）軌道站內(nèi)的人相對(duì)地心運(yùn)動(dòng)的速度大小是3.07×10³m/s．
（2）當(dāng)電梯倉(cāng)停在距地面高度h₂=2R的站點(diǎn)時(shí)，倉(cāng)內(nèi)質(zhì)量m₂=54kg的人對(duì)水平地板的壓力大小是54.6N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律的綜合，知道同步軌道站的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，以及知道人所受的萬(wàn)有引力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，掌握萬(wàn)有引力等于重力這一理論，并能靈活運(yùn)用．