Question

16．真空中存在一中空的柱形圓筒，如圖是它的一個截面，a、b、c為此截面上的三個小孔，三個小孔在圓形截面上均勻分布，圓筒半徑為R．在圓筒的外部空間存在著勻強磁場，磁感應強度大小為B，其方向與圓筒的軸線平行，在圖中垂直于紙面向內(nèi)．現(xiàn)在a處向圓筒內(nèi)發(fā)射一個帶正電的粒子，其質(zhì)量為m，帶電量為q，使粒子在圖所在平面內(nèi)運動，設(shè)粒子只受磁場力的作用，若粒子碰到圓筒即會被吸收，則：
（1）若要粒子發(fā)射后在以后的運動中始終不會碰到圓筒，則粒子的初速度的大小和方向有何要求？
（2）如果在圓筒內(nèi)的區(qū)域中還存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小也為B，則為使粒子以后都不會碰到圓筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？

Answer 1

分析 （1）粒子若由a射向c，由c出磁場后，粒子受到的洛倫茲力的方向向左，粒子將向左偏轉(zhuǎn)，若再次射入圓筒時從a進入指向c，則粒子偏轉(zhuǎn)360°，這個顯然是不可能的；若再次射入圓筒時從a射向b，則圓心到c的距離一定大于圓心到a的距離，這也是不可能的，所以粒子只能從a射向b．
若粒子從a射向b，依題意，出圓筒后再次射入從a圓筒時，方向指向b，則粒子偏轉(zhuǎn)360°，這個顯然是不可能的；出圓筒后再次射入從c圓筒時，方向指向b，則粒子的偏轉(zhuǎn)角是300°，這也是不可能的，做不出軌跡的圖象；
所以粒子進入圓筒后從a指向b，從b進入磁場偏轉(zhuǎn)后只能由c進入圓筒，且方向指向a．畫出粒子運動的軌跡，然后由圖中的幾何關(guān)系得出粒子運動的半徑，即可求出粒子速度的大��；
（2）如果在圓筒內(nèi)的區(qū)域中還存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小也為B，為使粒子以后都不會碰到圓筒，結(jié)合（1）的分析與粒子運動的對稱性可知，粒子運動的軌跡只能是從a到b，然后到c，再到a，等等，粒子運動的方向是從a指向圓心．做出粒子運動的軌跡，然后由圖中的幾何關(guān)系得出粒子運動的半徑，即可求出粒子速度的大�。�

解答 解：（1）依題意，粒子進入圓筒后從a指向b，從b進入磁場偏轉(zhuǎn)后只能由c進入圓筒，且方向指向a．畫出粒子運動的軌跡如圖1，粒子的偏轉(zhuǎn)角是240°，由圖中的幾何關(guān)系得：

粒子運動的圓心一定在圓筒上，而且粒子的半徑r=R．
粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，所以：$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：${v}_{1}=\frac{qBR}{m}$；
（2）如果在圓筒內(nèi)的區(qū)域中還存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小也為B，由粒子運動的對稱性可知，粒子運動的軌跡只能是從a到b，然后在外側(cè)的磁場中到c，在圓筒內(nèi)再到a，然后在外側(cè)的磁場中到b，在圓筒內(nèi)再到c，然后在外側(cè)的磁場中到a，如圖2．
粒子運動的方向是從a指向圓心．做出粒子運動的軌跡粒子運動軌跡如圖2所示，

由圖可知，cd⊥oc，bd⊥ob，所以粒子的偏轉(zhuǎn)角：β=240°，所以：∠bod=30°，粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，設(shè)圓弧的圓半徑為r′，粒子的偏轉(zhuǎn)半徑：$r′=\frac{R}{tan30°}=\sqrt{3}R$ 
由牛頓第二定律得：qvB=$\frac{m{v′}^{2}}{r′}$
所以：$v′=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
答：（1）若要粒子發(fā)射后在以后的運動中始終不會碰到圓筒，粒子的初速度的大小為$\frac{qBR}{m}$：方向從a指向b；
（2）如果在圓筒內(nèi)的區(qū)域中還存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小也為B，則為使粒子以后都不會碰到圓筒，粒子的初速度大小為$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$，方向由a指向圓心．

點評 本題考查了帶點粒子在勻強磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、應用牛頓第二定律、數(shù)學知識即可正確解題；根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡是正確解題的關(guān)鍵．