Question

7．摩天大樓中一部直通高層的客運(yùn)電梯，行程超過百米．電梯的簡(jiǎn)化模型如圖1所示．考慮安全、舒適、省時(shí)等因素，電梯的加速度a是隨時(shí)間t變化的．已知電梯在t=0時(shí)由靜止開始上升，a-t圖象如圖2所示．電梯總質(zhì)量m=2.0×10³ kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²．
（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂
（2）求電梯以最大速率上升時(shí)，拉力做功的功率P；再求在0～11s時(shí)間內(nèi)，拉力和重力對(duì)電梯所做的總功W．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出電梯向上加速運(yùn)動(dòng)的最大加速度和減速運(yùn)動(dòng)的最大加速度，由牛頓第二定律求解最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）由a-t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積，此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求解拉力和重力對(duì)電梯所做的總功W．

解答 解：（1）由牛頓第二定律，有F-mg=ma
由a-t圖象可知，F(xiàn)₁和F₂對(duì)應(yīng)的加速度分別是a₁=1.0m/s²，a₂=-1.0m/s²
根據(jù)牛頓第二定律得：
最大拉力F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）N=2.2×10⁴ N
最小拉力F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）N=1.8×10⁴ N
（2）由a-t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a-t圖線下的面積，有
v_m=$\frac{1}{2}×（11+9）×1$=10m/s
此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，拉力F等于重力mg，所求功率
P=Fv_m=mgv_m=2.0×10³×10×10W=2.0×10⁵ W
由動(dòng)能定理，總功
W=E_k2-E_k1=$\frac{1}{2}$mv_m²-0=$\frac{1}{2}$×2.0×10³×10² J=1.0×10⁵ J．
答：（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁為2.2×10⁴ N，最小拉力F₂為1.8×10⁴ N；
（2）電梯以最大速率上升時(shí)，拉力做功的功率P為2.0×10⁵ W；在0～11s時(shí)間內(nèi)，拉力和重力對(duì)電梯所做的總功W為1.0×10⁵ J．

點(diǎn)評(píng) 本題一要有基本的讀圖能力，并能根據(jù)加速度圖象分析電梯的運(yùn)動(dòng)情況；二要能運(yùn)用類比法，理解加速度圖象“面積”的物理意義．