Question

13．如圖所示，兩條平行的金屬導(dǎo)軌的傾斜部分與水平方向的夾角為37°，整個(gè)裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=1T．金屬棒MN和PQ的質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=2.5Ω和R_PQ=5Ω．MN置于粗糙水平導(dǎo)軌上，PQ置于光滑的傾斜導(dǎo)軌上，兩根金屬棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．從t=0時(shí)刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=1m/s²的加速度向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)．t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為0.2W，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，MN始終在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金屬導(dǎo)軌間距L的大��；
（2）0～3s時(shí)間內(nèi)通過(guò)MN棒的電荷量；
（3）求t=6s時(shí)F₂的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為0.2W，由功率公式P=I²R可求出電路中電流，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．已知MN棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由速度時(shí)間公式求出t=3s時(shí)的速度，即可由公式E=BLv求出金屬導(dǎo)軌間距L；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式推導(dǎo)出感應(yīng)電荷量的表達(dá)式 q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)}$，代入數(shù)據(jù)可求得通過(guò)MN棒的電荷量；
（3）根據(jù)速度公式v=at、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv、閉合電路歐姆定律 I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$、安培力公式F=BIL結(jié)合，可求出PQ棒所受的安培力大小，再由平衡條件求解F₂的大小和方向．

解答 解：（1）t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為0.2W，則有：P=I²R_PQ；
得：I=$\sqrt{\frac{P}{{R}_{PQ}}}$=$\sqrt{\frac{0.2}{5}}$A=0.2A，
此時(shí)MN棒將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=I（R_PQ+R_PQ）=0.2×（2.5+5）=1.5V，
MN棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，t₁=3s時(shí)速度為：v=at₁=1×3mm/s=3m/s
由E=BLv得：L=$\frac{E}{Bv}$=$\frac{1.5}{1×3}$m=0.5m．
（2）t₁=3s時(shí)MN棒通過(guò)的位移為：x=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$×1×3²=4.5m，
回路磁通量的變化量為：△Φ=BLx=1×0.5×4.5=2.25Wb，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，
通過(guò)MN棒的電荷量為：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$△t=$\frac{△Φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{2.25}{2.5+5}$=0.3C；
（3）t=6s時(shí)MN棒的速度為：v₂=at₂=1×6m/s=6m/s，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₂=BLv₂=1×0.5×6=3V，
感應(yīng)電流為：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{3}{2.5+5}$=0.4A，
則PQ棒所受的安培力為：F_安=BI₂L=1×0.4×0.5=0.2N，
對(duì)PQ，由平衡條件得：F₂+F_安cos37°=mgsin37°，
解得：F₂=mgsin37°-F_安cos37°=0.2×10×0.6-0.2×0.8=1.04N，方向：沿斜面向上；
答：（1）金屬導(dǎo)軌間距L的大小為0.5m；
（2）0～3s時(shí)間內(nèi)通過(guò)MN棒的電荷量為0.3C；
（3）求t=6s時(shí)F₂的大小為1.04N，方向：平行于斜面向上．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是解答的基礎(chǔ)，運(yùn)用力學(xué)和電路、電磁感應(yīng)的規(guī)律研究MN棒，其中對(duì)于感應(yīng)電荷量，要熟悉一般表達(dá)式q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，知道△φ與棒的位移有關(guān)．本題關(guān)鍵要抓住安培力與位移是線性關(guān)系．