Question

4．如圖所示，豎直平面內(nèi)的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為與水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一個(gè)小球在A點(diǎn)正上方由靜止開(kāi)始釋放，自由下落至A點(diǎn)后進(jìn)入圓形軌道并恰能到達(dá)B點(diǎn)，求：
（1）到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球的速度；
（2）小球落到斜面上C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（3）小球從B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)過(guò)程中何時(shí)離斜面最遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得在B處的速度；
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)位移規(guī)律，根據(jù)幾何關(guān)系求得平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)速度規(guī)律求解末速度；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移規(guī)律求得任意時(shí)刻到斜面距離的表達(dá)式，進(jìn)而求得最大值．

解答 解：（1）小球恰能到達(dá)B點(diǎn)，那么對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{gR}$；
（2）小球從B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，故有$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v_Bt；由幾何關(guān)系可知：x=y，所以，$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$，那么，小球在C點(diǎn)時(shí)的豎直分速度${v}_{Cy}=gt=\sqrt{2gR}$，
所以，小球在C點(diǎn)的速度${v}_{C}=\sqrt{3gR}$；
（3）小球從B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)過(guò)程中任意時(shí)刻離BD的距離$d=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}=\frac{|\sqrt{gR}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{\frac{g}{2}}t-\sqrt{\frac{R}{2}}）^{2}-\frac{R}{2}|}{\sqrt{2}}$，
所以，當(dāng)$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$時(shí)，x=R，$y=\frac{1}{2}R$，小球從B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)過(guò)程中離斜面最遠(yuǎn)，
答：（1）到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球的速度為$\sqrt{gR}$；
（2）小球落到斜面上C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{3gR}$；
（3）小球從B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)過(guò)程中$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$時(shí)離斜面最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．