Question

18．如圖所示，一質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平地面上，車上表面上右端有一滑塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），距小車右端4R處固定一個(gè)$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，其圓周半徑為R，車上表面與地面平行且與D點(diǎn)等高，在D點(diǎn)另有一滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），兩滑塊質(zhì)量均為m．現(xiàn)一水平外力F推動(dòng)小車，當(dāng)車與圓弧軌道碰撞后即撤去，車碰后靜止但并不粘連，滑塊A、B碰撞并粘連在一起，滑塊與車上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度g，可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．求：

（1）若外力F=$\frac{1}{2}$μ（M+m）g，則在推動(dòng)車的過程中，滑塊A與車是否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；
（2）在（1）條件下，滑塊A、B碰后瞬間，滑塊A的速度多大？
（3）若車面長$\frac{R}{4}$，車質(zhì)量M=km（k＞0），且兩滑塊最終不會(huì)滑離車面，則k的取值范圍內(nèi)為？

Answer 1

分析 （1）假設(shè)滑塊1與車不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)整體和滑塊1研究，求出滑塊受到的靜摩擦力大小，與最大靜摩擦力比較，判斷滑塊1與車是否會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
（2）若滑塊1與車沒有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)整體，運(yùn)用動(dòng)能定理求出滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度．兩滑塊碰撞過程，由動(dòng)量守恒定律求出碰撞后共同的速度．
（3）兩滑塊粘合在一起后沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個(gè)過程中兩滑塊的機(jī)械能守恒，兩滑塊最終以原速率沖上車面．根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合求解兩個(gè)滑塊最終沒有滑離車面時(shí)的k．

解答 解：（1）設(shè)滑塊1與車不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，它們的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：
F=（M+m）a…①
此時(shí)滑塊受到的靜摩擦力大小為：f=ma…②
而：$F=\frac{1}{2}μ（M+m）g$…③
由①②③解得：$f=\frac{1}{2}μmg$…④
又滑塊1與車面的最大靜摩擦力為：f_m=μmg…⑤
顯然f＜f_m，說明滑塊1與車面之間沒有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)．
（2）設(shè)滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$F•4R=\frac{1}{2}（M+m）{v^2}$…⑥
聯(lián)立③⑥求得：$v=2\sqrt{μgR}$…⑦
設(shè)滑塊1和2發(fā)生碰撞后的共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律有：
mv=2mv₁ …⑧
聯(lián)立⑦⑧求得：${v_1}=\sqrt{μgR}$…⑨
（3）兩滑塊粘合在一起后以v₁的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個(gè)過程中兩滑塊的機(jī)械能守恒，兩滑塊最終以速度v₁沖上車面．
設(shè)兩滑塊滑到車的左端時(shí)，若滑塊剛好不滑出車面，滑塊和車應(yīng)有共同的速度設(shè)為v₂，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒有：
  2mv₁=（2m+km）v₂，⑩
由系統(tǒng)的能量守恒，有：$μ2mg•\frac{R}{4}=\frac{1}{2}•2mv_1^2-\frac{1}{2}（2m+km）v_2^2$…⑪
聯(lián)立⑨⑩⑪解得：k=2…⑫
所以當(dāng)k≤2時(shí)，兩個(gè)滑塊最終沒有滑離小車．
答：（1）若人推車的力是水平方向且大小為$F=\frac{1}{2}μ（M+m）g$，在人推車的過程中，滑塊1與車不會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度是2$\sqrt{μgR}$．
（3）若車面的長度為$\frac{R}{4}$，小車質(zhì)量M=km，k的取值在k≤2時(shí)，兩個(gè)滑塊最終沒有滑離車面．

點(diǎn)評(píng) 本題過程較復(fù)雜，按程序法分析過程，確定每個(gè)過程遵循的物理規(guī)律是關(guān)鍵．特別是要挖掘隱含的臨界條件．在人推車的過程中，根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)用整體法和隔離法求出滑塊1與車間的靜摩擦力，根據(jù)靜摩擦力與最大靜摩擦力的關(guān)系，確定滑塊1與車是否相對(duì)滑動(dòng)．對(duì)于滑塊滑回車上后，當(dāng)滑塊滑車的最右端，且速度與車的速度相等時(shí)，恰好沒有滑出車，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出k，是本題解答的關(guān)鍵步驟．