Question

4．如圖所示，水平地面上固定一個半徑為R=0.8m的四分之一光滑圓軌道，圓軌道末端水平并與一個足夠長的勻質木板的左端等高接觸但不連接．木板的質量為M=2kg，其左端有一個處于靜止狀態(tài)的小物塊a，質量為m_a=1kg．現(xiàn)將一質量為m_b=3kg的小物塊b由圓軌道最高點無初速度釋放，并與物塊a在圓軌道最低點發(fā)生碰撞，碰撞時間極短且碰撞過程中無機械能損失（物塊a、b可視為質點，重力加速度g取10m/s²）
（1）求碰后瞬間兩物塊的速度大�。�
（2）若兩個小物塊a、b與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ₁=0.3，木板與地面間的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，求最終兩個小物塊a、b間的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊b下滑的過程，滿足機械能守恒定律，由此列式求b滑到圓軌道底端時的速度．對于兩個物塊碰撞的過程，由動量守恒定律和動能守恒列式，可求得碰后瞬間兩物塊的速度大小．
（2）碰后，a、b在木板上做勻減速運動，木板做勻加速運動，由牛頓第二定律求出三者的加速度．設物塊b與木板共速時的速度為v₁，時間為t₁，根據(jù)速度公式求出v₁和t₁．此后物塊b與板相對靜止一起減速到速度為零，再對b與木板整體，求得加速度，由運動學公式求出整體滑行的時間．最后由位移公式求解．

解答 解：（1）對物塊b沿光滑圓軌道下滑的過程，由機械能守恒得：
${m}_gR=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4m/s，
兩物塊相碰撞得過程中，由于碰撞時間極短，內(nèi)力遠大于外力，滿足動量守恒，以初速度為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
m_bv₀=m_bv_b+m_av_a，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{{v}_}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{a}}^{2}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v_b=2m/s，v_a=6m/s
（2）物塊a、b做勻減速運動的加速度大小分別為：
${a}_{a}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g}{{m}_{a}}=3m/{s}^{2}$，
a_b=$\frac{{μ}_{1}{m}_g}{{m}_}$=μg=3m/s²．
木板做勻加速運動的加速度大小為：
${a}_{M}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g+{μ}_{1}{m}_g-{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_+M）}{M}=3m/{s}^{2}$
物塊b與木板共速時的速度為v₁，時間為t₁，則有：
v₁=v_b-a_bt₁=a_Mt₁，
解得：v₁=1m/s，${t}_{1}=\frac{1}{3}s$
此后物塊b與板相對靜止一起減速到速度為零的時間為t₂，加速度大小為：
${a}_{共}=\frac{{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_+M）{-μ}_{1}{m}_{a}g}{M+{m}_}=\frac{3}{5}m/{s}^{2}$，
則0=v₁-a_共t₂
解得：${t}_{2}=\frac{5}{3}s$，
綜上，物塊a整個過程中的對地位移為x_a，物塊b整個過程中的對地位移為x_b，則有：
${x}_=\frac{{v}_+{v}_{1}}{2}{t}_{1}+\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{4}{3}m$，
${x}_{a}=\frac{{{v}_{a}}^{2}}{2{a}_{a}}=6m$，
所以最終兩物塊間距 $△x=\frac{14}{3}m$．
答：（1）碰后瞬間a、b兩物塊的速度大小分別是6m/s和2m/s；
（2）最終兩個小物塊a、b間的距離是$\frac{14}{3}$m．

點評 本題的關鍵要分析清楚物體的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，采用隔離法和整體法結合分析三個物體運動的加速度和位移．