Question

6．如圖所示，豎直平面內的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為與水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一個小球在A點正上方由靜止開始釋放，自由下落至A點后進入圓形軌道并恰能到達B點，求：
（1）釋放點距A點的豎直高度；
（2）小球落到斜面上C點時的速度大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達B點，說明此時恰好是物體的重力作為向心力，由向心力的公式可以求得在B點的速度大小；從開始下落到B的過程中，物體的機械能守恒，從而可以求得小球釋放時距A點的豎直高度．
（2）離開B點后小球做平拋運動，根據水平方向的勻速直線運動，豎直方向上的自由落體運動可以求得小球落到斜面上時的速度．

解答 解：（1）小球恰能到達B點，在B點由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  
得：v=$\sqrt{gR}$ 
設小球的釋放點距A點高度為h，小球從開始下落到B點，由機械能守恒定律，得：
mg（h-R）=$\frac{1}{2}$mv²；
得：h=1.5R 
（2）小球離開B點后做平拋運動，小球落到C點時有：
tan45°=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}$=$\frac{gt}{2v}$
解得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球落在斜面上C點時豎直分速度為：v_y=gt=2$\sqrt{gR}$
小球落到C點得速度大�。簐_C=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5gR}$
小球落到C點時，設速度與水平方向夾角為ϕ：tanϕ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=2
則 ϕ=arctan2．
答：（1）釋放點距A點的豎直高度是1.5R；
（2）小球落到斜面上C點時的速度大小為$\sqrt{5gR}$，方向與水平方向夾角的arctan2．

點評 小球的運動過程可以分為三部分，第一段是自由落體運動，第二段是圓周運動，此時機械能守恒，第三段是平拋運動，分析清楚各部分的運動特點，采用相應的規(guī)律求解即可．