Question

7．如圖所示，有五根完全相同的均勻細金屬桿，每根桿長度為L，單位長度電阻為λ，將其中四根連接在一起構成正方形閉合框架abcd，固定在絕緣水平桌面上，另一根金屬桿PQ捆在其上且始終接觸良好，勻強磁場垂直穿過桌面，磁感應強度大小為B．現(xiàn)PQ在水平外力作用下沿平行于ab的方向以速度v勻速從左向右運動，不計系統(tǒng)摩擦，設PQ與ad的距離為x．
（1）當x=$\frac{3}{4}$L時，求PQ桿上的熱功率；
（2）求出水平外力F的大小隨x變化的關系式，并指出當x為何值時，F(xiàn)有極小值，求出該極小值．

Answer 1

分析 （1）由并聯(lián)電路特點求出外電阻，由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，然后由電功率公式求出電功率．
（2）由并聯(lián)電路特點求出外電阻，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出外力，然后求出外力的最小值．

解答 解：（1）當x=$\frac{3}{4}$L時，外電阻R滿足：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{2.5λL}$+$\frac{1}{1.5λL}$，
電動勢：E=BLv，
PQ中的電流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ的熱功率：P=I²λL，
解得：P=$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）外電阻R隨x變化關系：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{λ（L+2x）}$+$\frac{1}{λ（3L-2x）}$，
PQ中的電流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ所受安培力：F_A=BIL，
金屬桿勻速運動，由平衡條件得：F=F_A，
整理得：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{L}^{2}}$，
當x=$\frac{1}{2}$L時，外力最小，為：F_min=$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$；
答：（1）當x=$\frac{3}{4}$L時，PQ桿上的熱功率為$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）水平外力F的大小隨x變化的關系式為：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{L}^{2}}$，當x為$\frac{1}{2}$L時，F(xiàn)有極小值，該極小值為：$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$．

點評 本題是一道電磁感應與力學、電路知識的綜合題，要掌握電磁感應與力學、電路的基本規(guī)律，如E=BLv、并聯(lián)電路特點、歐姆定律、安培力公式、電功與電功率公式等等．本題的難點與解題關鍵是：知道ab桿是電源，框架是外電路，判斷出外電阻先增大后減�。�