Question

5．如圖所示，一根直導(dǎo)體棒質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)，其兩端放在位于水平面內(nèi)間距也為L(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌上，并與之接觸良好，棒左側(cè)兩導(dǎo)軌之間連接一可控電阻，導(dǎo)軌置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面．t=0時(shí)刻，給導(dǎo)體棒一個(gè)平行于導(dǎo)軌的初速度v₀，此時(shí)可控電阻的阻值為R₀，在棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)可控電阻的變化使棒中的電流保持恒定，不計(jì)導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻，導(dǎo)體棒一直在磁場(chǎng)中．
（1）求棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止這段時(shí)間內(nèi)可控電阻R上消耗的平均功率；
（2）求可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（3）若將可控電阻改為阻值為R₀的定值電阻，求棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止這段時(shí)間發(fā)生的位移x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)功能關(guān)系求解克服安培力做的功，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解經(jīng)過(guò)的時(shí)間，由此求解電功率；
（2）使棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，結(jié)合歐姆定律知電流強(qiáng)度為定值，由于棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間減小，由此的到R隨時(shí)間的變化關(guān)系；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，結(jié)合電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)能量守恒定律可得，這段時(shí)間電路中消耗的電功為：W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
由于電流強(qiáng)度不變，所以安培力不變，根據(jù)牛頓第二定律可得：F_A=ma，
而F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}}$，
解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{m{R}_{0}}$，
根據(jù)v₀=at可得：t=$\frac{m{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
所以有：P=$\frac{W}{t}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{R}_{0}}$；
（2）因棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，故棒做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)t時(shí)刻棒的速度為v，則有：$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{0}}$=$\frac{BLv}{R}$，
v=v₀-at，
聯(lián)立解得：R=R₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
（3）若電阻保持R₀不變，則棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，有：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得平均加速度：$\overline{a}=\frac{B\overline{I}L}{m}$，
根據(jù)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間關(guān)系可得：v₀=$\overline{a}t$，
聯(lián)立解得：x=$\frac{m{v}_{0}{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止這段時(shí)間內(nèi)可控電阻R上消耗的平均功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{R}_{0}}$；
（2）可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為R=R₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
（3）若將可控電阻改為阻值為R₀的定值電阻，棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止這段時(shí)間發(fā)生的位移為$\frac{m{v}_{0}{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道分析導(dǎo)體棒受力情況，應(yīng)用閉合電路歐姆定律和牛頓第二定律求解，注意對(duì)于線(xiàn)性變化的物理量求平均的思路，本題中先后用到平均電動(dòng)勢(shì)、平均電阻和平均加速度．