Question

6．先后讓一束質子（${\;}_{1}^{1}$H）和一束α粒子（${\;}_{2}^{4}$He）通過同一對平行金屬板形成的偏轉電場，已知板長為L，板間距為d，粒子進入時速度方向與板平行．求：
（1）質子和α粒子以相同的初速度v₀射入時的側向偏移量之比；
（2）質子和α粒子以相同的初動能射入時的偏轉角度正切值之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在偏轉電場中做類平拋運動，由牛頓第二定律求得加速度；粒子垂直于電場方向做勻速直線運動，平行于電場方向做初速度為零的勻加速運動，由運動學公式求出側移量的表達式，結合兩個粒子的比荷，進行求解．
（2）粒子垂直于電場方向做勻速直線運動，平行于電場方向做初速度為零的勻加速運動，由運動學公式求出偏角的正切表達式，結合兩個粒子的比荷，進行求解．

解答 解：（1）粒子做類似平拋運動，加速度為：
a=$\frac{qE}{m}$
根據分位移公式，有：
L=v₀t 
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
聯立解得：
y=$\frac{qE{L}^{2}}{2m{v}_{0}^{2}}$
質子（${\;}_{1}^{1}$H）和α粒子（${\;}_{2}^{4}$He）的初速度相同，故：
y∝$\frac{q}{m}$
故$\frac{{y}_{H}}{{y}_{α}}=\frac{\frac{{q}_{H}}{{m}_{H}}}{\frac{{q}_{α}}{{m}_{α}}}=\frac{{q}_{H}}{{q}_{α}}×\frac{{m}_{α}}{{m}_{H}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{1}=\frac{2}{1}$
（2）粒子做類似平拋運動，加速度為：
a=$\frac{qE}{m}$
根據分運動公式，有：
v_x=v₀
v_y=at 
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
聯立解得：
tanθ=$\frac{qEL}{m{v}_{0}^{2}}$
質子和α粒子以相同的初動能射入，故：
tanθ∝q
故質子和α粒子的偏轉角度正切值之比為：
$\frac{tan{θ}_{H}}{tan{θ}_{α}}$=$\frac{{q}_{H}}{{q}_{α}}=\frac{1}{2}$
答：（1）質子和α粒子以相同的初速度v₀射入時的側向偏移量之比為2：1；
（2）質子和α粒子以相同的初動能射入時的偏轉角度正切值之比為1：2．

點評 本題中帶電粒子在偏轉電場中做類平拋運動，其研究方法是運動的分解和合成，運用牛頓第二定律和運動學公式推導出偏角的正切是關鍵．