Question

8．宇航員駕駛宇宙飛船成功登上月球，他在月球表面做了一個實驗：在停在月球表面的登陸艙內固定一傾角為θ=30°的斜面，讓一個小物體以速度v₀沿斜面上沖，利用速度傳感器得到其往返運動的v-t圖象如圖所示，圖中t₀已知．已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G不考慮月球自轉的影響．求：
（1）月球的密度ρ；
（2）宇宙飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運動的速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律，結合速度時間圖線求出月球表面的重力加速度，根據萬有引力等于重力，求出月球的質量，從而得出月球的密度．
（2）根據重力提供向心力求出宇宙飛船繞月球做圓周運動的線速度．

解答 解：（1）根據速度時間圖線知，上滑的加速度大小${a}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$，
根據上滑的位移和下滑的位移大小相等，有：$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{0}=\frac{1}{2}v•2{t}_{0}$得，v=$\frac{{v}_{0}}{2}$，則下滑的加速度大小${a}_{2}=\frac{v}{2{t}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{4{t}_{0}}$，
根據牛頓第二定律得，a₁=gsinθ+μgcosθ，a₂=gsinθ-μgcosθ，
聯(lián)立解得月球表面重力加速度g=$\frac{5{v}_{0}}{8{t}_{0}sinθ}$．
根據mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，月球的質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則月球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{15{v}_{0}}{32GπR{t}_{0}sinθ}$=$\frac{15{v}_{0}}{16GπR{t}_{0}}$．
（2）根據mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$得，${v}_{1}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{8{t}_{0}sinθ}}$=$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{4{t}_{0}}}$．
答：（1）月球的密度為$\frac{15{v}_{0}}{16GπR{t}_{0}}$．
（2）宇宙飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運動的速度為$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{4{t}_{0}}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律與牛頓第二定律、速度時間圖線的綜合運用，通過圖線和牛頓第二定律求出月球表面重力加速度是解決本題的關鍵．