Question

15．如圖所示，在傾角為θ=30°的光滑絕緣斜面abcd上有一垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的上下有邊界且與斜面底邊cd平行，虛線為磁場(chǎng)的邊界線．在斜面上有一個(gè)質(zhì)量為m=0.2kg、電阻為R=0.27Ω、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=60cm的正方形金屬線框，相距s=90cm．將線框從靜止開(kāi)始釋放，沿斜面滑下，線框底邊始終與斜面底邊平行．若線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好能做勻速運(yùn)動(dòng)．求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）若線框的下邊通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間為t=0.6s，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度l為多少？
（3）若線框上邊框穿出磁場(chǎng)前也已勻速運(yùn)動(dòng)，則線框在穿過(guò)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中能產(chǎn)生多少的焦耳熱．（重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）本題的關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析和畫(huà)出側(cè)視圖的受力分析圖．線框進(jìn)入磁場(chǎng)前沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理列式，求出線框剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的速度．線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好能做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$，F(xiàn)_安=BIL，及平衡條件列式，即可求得B．
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程做勻速運(yùn)動(dòng)，由L和v可求得時(shí)間．線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后，磁通量不變，沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，線框不受安培力，而做勻加速運(yùn)動(dòng)．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得線框通過(guò)的位移，由幾何關(guān)系求解磁場(chǎng)的寬度l．
（3）若線框最后勻速離開(kāi)磁場(chǎng)，線框的重力勢(shì)能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求解即可焦耳熱．

解答 解：（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)前沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)底邊剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，則
由動(dòng)能定理得  $\frac{1}{2}$mv²=mgssinθ 得 v=3m/s
線框底邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv=IR
畫(huà)出線框受力的側(cè)視圖如圖所示．勻速運(yùn)動(dòng)，有：
mgsinθ=BIL
聯(lián)立解得：B=0.5T
（2）線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后，磁通量不變，沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，線框不受安培力，而做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=gsinθ=5m/s²
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{L}{v}$=0.2s
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=t-t₁=0.4s
勻加速運(yùn)動(dòng)的距離為：x=υt₂+$\frac{1}{2}$at₂²=1.6m
磁場(chǎng)區(qū)域的寬度 l=L+x=2.2m
（3）上邊框穿出磁場(chǎng)前也已勻速運(yùn)動(dòng)，則穿出磁場(chǎng)的速度仍為 v=3m/s
根據(jù)能量守恒可得 Q=mg（S+l+L）sinθ-$\frac{1}{2}$mv²=2.8J
答：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是0.5T；
（2）若線框的下邊通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間為t=0.6s，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度l為2.2m．
（3）線框在穿過(guò)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中能產(chǎn)生2.8J的焦耳熱．

點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)軌類問(wèn)題，首先要分析線框的運(yùn)動(dòng)情況，畫(huà)出側(cè)視圖及其受力分析圖，然后列式求解．