Question

5．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量m=0.6kg的小球，從半徑R=0.4m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道的最高點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，對軌道槽正壓力都為N₁=12N，小球水平飛出后剛好能從旋轉(zhuǎn)的圓筒上的A孔飛入，且不會與筒壁發(fā)生碰撞，并能從A孔的正下方的B孔飛出，圓筒半徑r=0.5m，（ g=10m/s²），求：
（1）小球在$\frac{1}{4}$圓軌道上克服阻力所做的功W．
（2）A、B兩孔的距離h．
（3）圓筒轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球運(yùn)動到圓軌道最低點(diǎn)時(shí)受力情況，得到合力，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求出經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度，再由動能定理求解克服阻力做的功．
（2）小球水平飛出后剛好能從旋轉(zhuǎn)的圓筒上的A孔飛入，且不會與筒壁發(fā)生碰撞，做平拋運(yùn)動，由分位移公式求解h．
（3）圓筒做勻速圓周運(yùn)動，具有周期性，根據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和角速度關(guān)系，求解即可．

解答 解：（1）由小球運(yùn)動到圓軌道最低點(diǎn)時(shí)受力情況知，在最低點(diǎn)的合力為：F_合=N₁-mg=6N，
在最低點(diǎn)，由合力提供向心力，則有：F_合=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=2m/s，
由動能定理得：mgR-W=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得小球在$\frac{1}{4}$圓軌道上克服阻力所做的功：W=1.2J；
（2）小球進(jìn)入圓筒內(nèi)的運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律得：
t=$\frac{2r}{v}$=$\frac{2×0.5}{2}$=0.5s，
則有：h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$×10×0.5²=1.25m；
（3）由題意知：θ=（2n+1）π=ωt，
解得：ω=2（2n+1）π rad/s，（n=0，1，2，3…）；
答：（1）小球在$\frac{1}{4}$圓軌道上克服阻力所做的功W是1.2J．
（2）A、B兩孔的距離h是1.25m．
（3）圓筒轉(zhuǎn)動的角速度ω是2（2n+1）π rad/s，（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評 解決本題要掌握圓周運(yùn)動動力學(xué)的基本思路：合力提供向心力，平拋運(yùn)動的研究方法：運(yùn)動的分解．關(guān)鍵是抓住圓周運(yùn)動的周期性，分析圓筒轉(zhuǎn)過的角度表達(dá)式．