Question

16．如圖所示，傾角為53°的斜面頂端用釘子系住一個質量為1kg的小球，
（1）當斜面以2m/s²加速度向右作勻加速運動時，求繩子的拉力；
（2）當斜面以8m/s²加速度向右作勻加速運動時，求繩子的拉力．

Answer 1

分析 首先判斷小球是否飛離了斜面，根據小球剛剛飛離斜面時的臨界條件，即繩子的傾角不變，斜面對小球的支持力剛好為零，解出此時的加速度與題目給出的加速度大小進行比較，若給出加速度大于小球的臨界加速度說明小球已經飛離了斜面，否則小球還在斜面上．再根據牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）當加速度a較小時，小球與斜面一起運動，此時小球受重力、繩子拉力和斜面的支持力，繩子平行于斜面；當加速度a足夠大時，小球將飛離斜面，此時小球僅受重力與繩子的拉力作用，當斜面恰對小球無彈力作用時，小球的臨界加速度設為a₀，小球的受力如圖1所示．
由牛頓第二定律得：F_合=mgcotθ=ma₀
解得：a₀=gcot53°=7.5m/s²
因為：a=2m/s²＜a₀
所以小球壓在斜面上，設繩子的拉力為T，斜面對小球的支持力為N．
根據牛頓第二定律得：
豎直方向上有：Tsin53°+Ncos53°=mg
水平方向上有：Tcos53°-Nsin53°=ma
解得 T≈24.3N
（2）因為a=8m/s²＞a₀，所以小球一定離開斜面，小球的受力如圖2所示：
水平方向有牛頓第二定律得：Tcosα=ma
豎直方向有受力平衡得：Tsinα=mg
由以上兩式整理得：繩子的拉力 T=$\sqrt{{G}^{2}+（ma）^{2}}$=m$\sqrt{{g}^{2}+{a}^{2}}$=1×$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$≈12.9N
答：
（1）當斜面以2m/s²的加速度向右作勻加速運動時，繩子的拉力是24.3N；
（2）當斜面以8m/s²加速度向右作勻加速運動時，繩子的拉力是12.9N．

點評 解決本題的關鍵知道小球與斜面具有相同的加速度，合力方向水平向右，結合牛頓第二定律進行求解．