Question

18．魏偉和洪宏在暑假參加了“快樂大沖關(guān)”水上競技活動，參賽者需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，如圖所示，若將參賽者簡化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點，參賽者抓住繩時繩與豎直方向的夾角α=53°，并由靜止開始擺動，繩的懸掛點O距水面的高度H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求參賽者擺到最低點時對繩拉力的大小F；
（2）若繩長l=2m，參賽者擺到最高點時不幸松手落入水中，設(shè)水對選手的浮力f₁=800N，對選手的阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若使參賽者擺到最低點時松手水平拋出后，在浮臺上的落點距岸邊越遠，繩長應為多少？

Answer 1

分析 （1）在擺動過程中，機械能是守恒的，應用機械能守恒定律求出運動到最低點時的速度．再用牛頓運動定律結(jié)合圓周運動的向心力求出繩子對選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對繩子的拉力．
（2）選手擺到右邊最高點時松手，做自由落體運動，對整個過程，運用動能定理列式求解d．
（3）選手在最低點松手后做平拋運動，由平拋運動知識可以求出水平距離．

解答 解：（1）選手擺到最低點的過程中，機械能守恒，由機械能守恒定律得：
mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$=$\sqrt{2×10×2×（1-cos53°）}$=4m/s；
在最低點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=1080N
由牛頓第三定律可知，人對繩子的拉力：F′=F=1080N；
（2）選手從右邊最高點開始作自由落體運動，然后再進入水中，由動能定理：mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0-0
解得：d=1.2m
（3）選手從最低點松手后開始做平拋運動
在水平方向：x=vt，
豎直方向：H-l=$\frac{1}{2}$gt²，
由第1題有：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
聯(lián)立得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cos53°）}$
根據(jù)數(shù)學知識可知當l=H-l時，x有最大值，則此時l=$\frac{1}{2}H$=1.5m
答：（1）選手擺到最低點時對繩拉力的大小是1080N．
（2）選手擺到右邊最高點時松手，選手將做自由落體運動，選手落入水中的深度d是1.2m；
（3）若要求選手擺到最低點時松手，且運動到浮臺處離岸水平距離最大，則選手應將手握住繩子上離O點1.5m處．

點評 本題考查到了機械能守恒，圓周運動向心力，平拋運動規(guī)律；解答第一問時，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進行受力分析的，故不要忘記應用牛頓第三定律．對于極值問題，要根據(jù)數(shù)學知識求解．