Question

12．游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上的圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來（如圖甲）．我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計(jì)摩擦和空氣阻力）．若質(zhì)量為m的小球從曲而軌道上的P點(diǎn)由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點(diǎn)A．已知P點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=3R．求：
（1）小球通過最低點(diǎn)B時(shí)速度有多大？
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運(yùn)動(dòng)中需要考慮摩擦和空氣阻力，當(dāng)小球從P點(diǎn)由靜止開始下滑，且剛好通過最高點(diǎn)A，則小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）欲求B點(diǎn)的速度，只需對(duì)于P到B過程應(yīng)用動(dòng)能定理或者是機(jī)械能守恒都可以；
（2）先以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，利用牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的彈力，由牛頓第三定律知道小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）首先求出剛好能通過最高點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)的臨界速度，再應(yīng)用動(dòng)能定理就可以了．

解答 解：（1）設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為V，由動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{6gR}$
（2）取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球在A點(diǎn)的速度為V_A，設(shè)軌道對(duì)小球的彈力為F，
由動(dòng)能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
由向心力定義和牛頓第二定律得：F+mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：F=mg
由牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力為：F′=mg
（3）設(shè)小球剛好在A點(diǎn)的速度為V₀，由向心力定義和牛頓第二定律得：
mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
即：v₀=$\sqrt{gR}$
設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功W，由動(dòng)能定理得：
mg（h-2R）+W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：W=-0.5mgR
所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通過最低點(diǎn)B時(shí)速度$\sqrt{6gR}$；
（2）小球通過A點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力mg；
（3）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為0.5mgR

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的分析，第二問中極容易漏掉牛頓第三定律的應(yīng)用，
第三問中小球在A點(diǎn)的臨界速度是關(guān)鍵．這是一道綜合性較強(qiáng)的好題．