Question

19．如圖所示，在真空中，半徑為R的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)只存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，以速率V₀從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑OO_l并指向圓心O的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場(chǎng)后沿兩板的中心線O₁O₂射入平行金屬板M和N，O₁O₂與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一直線上．板間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩板間的電壓為U，兩板間距為d．不計(jì)粒子所受重力．求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子在兩平行板間運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度與板長(zhǎng)L的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由幾何知識(shí)得到軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$周期時(shí)間，求得周期，即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子在平行板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與動(dòng)能定理可以求出速度與L間的關(guān)系．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系知：r=R，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為四分之一個(gè)周期，有：
t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πR}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在平行板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
L=v₀t  
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，
聯(lián)立解得：y=$\frac{qU{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$，
若y≥$\frac4kitrzi{2}$，即：L≥$\sqrt{\frac{md{v}_{0}^{2}}{qU}}$時(shí)，粒子打在板上，
這種情況下粒子在板間的最大速度v₁，由動(dòng)能定理得：
q$\frac{U}{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{qU+m{v}_{0}^{2}}{m}}$，
當(dāng)y＜$\fracvzxaig5{2}$，即：L＜$\sqrt{\frac{mq0ycgeh^{2}{v}_{0}^{2}}{qU}}$時(shí)，粒子從兩板間飛出電場(chǎng)，
粒子在板間的最大速度V₂，這種情況下由動(dòng)能定理得：
q•$\frac{U}40x0svu$•y=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得最大速度為：v₂=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{U}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}uk4jig5^{2}{v}_{0}^{2}}+{v}_{0}^{2}}$；
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πR}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在兩平行板間運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度與板長(zhǎng)L的關(guān)系為：
當(dāng)粒子打在極板上時(shí)，最大速度為$\sqrt{\frac{qU+m{v}_{0}^{2}}{m}}$，當(dāng)粒子從兩板間飛出電場(chǎng)時(shí)速度為$\sqrt{\frac{{q}^{2}{U}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}a4cymfn^{2}{v}_{0}^{2}}+{v}_{0}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑是關(guān)鍵，在電場(chǎng)中分析兩段位移的關(guān)系是關(guān)鍵．