Question

10．如圖所示，在豎直平面內，直徑為R的光滑半圓軌道和半徑為R的光滑四分之一圓軌道水平相切于最低點A，一個質量為m可視為質點的小球，從A點沿切線向左以某一初速度進入半圓軌道，恰好能通過半圓軌道的最高點M，然后，落在四分之一圓軌道上的N點，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 小球運動到M點時的加速度為g
• B． M點與N點間的高度差為$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$
• C． 小球的初速度大小為$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
• D． 小球到達N點時的動能為$\frac{（2\sqrt{5}+1）}{4}$mgR

Answer 1

分析 小球剛好通過M點，在M點重力提供向心力，求出M點速度，小球從M點拋出后做平拋運動，根據平拋運動的基本公式結合幾何關系可求得M點與N點間的高度差．由動能定理求小球的初速度和小球到達N點時的動能．

解答 解：A、小球剛好通過M點，在M點只受重力，加速度為g，故A正確．
B、在M點由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得：v=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．從A點拋出后做平拋運動，則水平方向的位移為 x=vt，豎直方向的位移為 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
根據幾何關系有：x²+h²=R²，解得：M點與N點間的高度差為 h=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$．故B正確．
C、從A到M點的過程，由動能定理得：-mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得v₀=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，故C錯誤．
D、小球從M到N的過程，由動能定理得：mgh=E_KN-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，小球到達N點時的動能為 E_KN=$\frac{2\sqrt{5}-1}{4}$mgR．故D錯誤．
故選：AB

點評 本題的關鍵要理清小球的運動過程，明確M點的臨界條件：重力等于向心力．要熟練運用分運動的規(guī)律和幾何知識求平拋運動的時間和高度．