Question

10．如圖所示在水平地面上固定一個(gè)半徑為R的半圓形軌道，其中圓弧部分光滑，水平段長(zhǎng)為L(zhǎng)，一質(zhì)量為m的小物塊緊靠一根被壓縮的彈簧固定在水平軌道的最右端，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)突然釋放小物塊，小物塊被彈出，恰好能夠到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A，取g=10m/s²，且彈簧長(zhǎng)度忽略不計(jì)，求：
（1）小物塊的落點(diǎn)距O′的距離；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）小物塊被彈出恰好能夠運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最高點(diǎn)A時(shí)，由重力提供向心力，列式可求出小物塊在圓弧頂端A處速度大小，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求水平位移知小物塊的落點(diǎn)距O′的水平距離；
（2）小物塊在圓弧軌道上從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律列式，小物塊被彈簧彈出到運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)的過(guò)程由功能關(guān)系列式，小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢(shì)能就等于小物塊被彈出時(shí)的動(dòng)能，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設(shè)小物塊被彈簧彈出時(shí)的速度大小為v₁，到達(dá)圓弧軌道的最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v₂，到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v₃，因?yàn)樾∥飰K恰好能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)，故向心力剛好由重力提供，有：
$m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$=mg…①
小物塊由A射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
x=v₃t…②
2R=$\frac{1}{2}$gt²…③
聯(lián)立①②③解得：x=2R，
即小物塊的落點(diǎn)距O′的距離為2R
（2）小物塊在圓弧軌道上從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{3}^{2}$…④
小物塊被彈簧彈出到運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)的過(guò)程由功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$+μmgL…⑤
小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢(shì)能就等于小物塊被彈出時(shí)的動(dòng)能，故有：
E_p=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$…⑥
由①④⑤⑥聯(lián)立解得：E_p=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．
答：（1）小物塊的落點(diǎn)距O′的距離為2R；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢(shì)能為$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵分析物塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的向心力來(lái)源，判斷能量如何轉(zhuǎn)化，再列式求解．綜合型較強(qiáng)，難度中等．