Question

14．回旋加速度器是現(xiàn)代高能物理研究中用來加速粒子的常用裝置．圖1為回旋加速器原理示意圖：置于高真空中的D形金屬半徑為R，勻強(qiáng)磁場方向與盒面垂直．兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．位于D形盒中心A處的粒子源能產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0的粒子，兩盒間的加速電壓按如圖2所示的余弦規(guī)律變化，其最大值為U_a，頻率為f．加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用．已知t₁=0時刻產(chǎn)生的粒子每次通過狹縫時都能被加速．求：

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）t₁=0時刻產(chǎn)生的粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（3）t₁=0與t₂=$\frac{1}{6f}$時刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)出口處的時間差．

Answer 1

分析 （1）據(jù)粒子做圓周運(yùn)動的周期必須與加速電壓的周期相同求解即可．
（2）利用洛倫茲力提供向心力求解即可．
（3）分析清楚離子的受力和運(yùn)動情況，求出時間，即可求出時間差．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$   
要保證t₁=0時刻產(chǎn)生的粒子每次通過狹縫時都能被加速，粒子做圓周運(yùn)動的周期必須與加速電壓的周期相同，即必須滿足$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{f}$ 
解得 B=$\frac{2πmf}{q}$   
（2）設(shè) t₁=0時刻產(chǎn)生的粒子第1次經(jīng)過狹縫后的速度為v₁，半徑為r₁
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²   
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$    
解得：r₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$  
同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑r₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m•2{U}_{0}}{q}}$
則r₁：r₂=1：$\sqrt{2}$        
（3）設(shè)粒子到達(dá)出口時的速度為v_m，則
qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$         
即所有從出口飛出的粒子，速度都相同．而每一個周期時間內(nèi)每個粒子在磁場中，被電場加速兩次．設(shè)某個粒子被加速時的電壓為U，它總共被加速了n次，則
nqU=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$        
整理得 n=$\frac{2{π}^{2}m{f}^{2}{R}^{2}}{qU}$  
粒子在磁場中運(yùn)動的總時間t=$n•\frac{T}{2}$   
整理得 t=$\frac{{π}^{2}mf{R}^{2}}{qU}$    
t₂=$\frac{1}{6f}$時刻產(chǎn)生的粒子被加速時的電壓為U₂=U₀cos（2πf$•\frac{1}{6}f$）=$\frac{{U}_{0}}{2}$

所以，t₁=0與t₂=$\frac{1}{6f}$時刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)出口處的時間差為△t=$\frac{1}{6f}$+$\frac{{π}^{2}mf{R}^{2}}{q\frac{{U}_{0}}{2}}$-$\frac{{π}^{2}mf{R}^{2}}{q{U}_{0}}$  
即△t=$\frac{1}{6f}$+$\frac{{π}^{2}mf{R}^{2}}{q{U}_{0}}$
答：1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小 $\frac{2πmf}{q}$；
（2）t₁=0時刻產(chǎn)生的粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比1：$\sqrt{2}$；
（3）t₁=0與t₂=$\frac{1}{6f}$時刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)出口處的時間差△$\frac{1}{6f}$+$\frac{{π}^{2}mf{R}^{2}}{q{U}_{0}}$．

點評 此題難度較大，特別是第3問，解本題的關(guān)鍵是知道回旋加速器的工作原理；靈活應(yīng)用洛倫茲力提供向心力求解，還要注意計算過程的計算量．