Question

11．如圖所示，O為三個(gè)半圓的共同圓心，半圓Ⅰ和Ⅱ間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=1.0T，Ⅱ和Ⅲ間有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度位置，半圓Ⅰ的半徑R₁=0.5m，半圓Ⅲ的半徑為R₃=1.5m，一比荷$\frac{q}{m}$=4.0×10⁷C/kg的帶正電粒子從O點(diǎn)沿與水平方向成θ=30°的半徑OC方向以速率v=1.5×10⁷m/s垂直射入磁場(chǎng)B₁中，恰好能穿過半圓Ⅱ的邊界進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ間的磁場(chǎng)中，粒子再也不能穿出磁場(chǎng)，求：
（1）半圓Ⅱ的半徑R₂；
（2）粒子在磁場(chǎng)B₁中的運(yùn)行時(shí)間t；
（3）半圓Ⅱ、Ⅲ間磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力，提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，與幾何關(guān)系，即可求解；
（2）畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌道圖，結(jié)合幾何關(guān)系，確定已知長(zhǎng)度與軌道半徑的關(guān)系，從而求解；
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式，結(jié)合各自軌道對(duì)應(yīng)的圓心角，及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，從而求解從開始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B的速度為v，粒子在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示的運(yùn)動(dòng)軌道；
由洛倫茲力提供向心力得：$qv{B}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
得：${r}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{1.5×1{0}^{7}}{4.0×1{0}^{7}×1.0}=\frac{3}{8}$m
由圖可知，直角三角形OA0₁中，由勾股定理，$tan∠COO′=\frac{CO′}{OC}=\frac{{r}_{1}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{3}{8}}{0.5}=\frac{3}{4}$
所以：∠COO′=37°
由幾何關(guān)系得：${R}_{2}=OO′+{r}_{1}=\frac{OC}{cos37°}+{r}_{1}=\frac{0.5}{0.8}+\frac{3}{8}=1$m
（2）由運(yùn)動(dòng)的軌跡圖可得，粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是：β=180°-（90°-37°）=127°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：${T}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{2π×\frac{3}{8}}{1.5×1{0}^{7}}=0.5π×1{0}^{-7}$s
粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{β}{360°}•T=\frac{127°}{360°}•T=5.5×1{0}^{-8}$s
（3）若穿過半圓Ⅱ的邊界進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ間的磁場(chǎng)中，粒子再也不能穿出磁場(chǎng)，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其半徑：2r₂＜R₃-R₂
所以：r₂＜0.25m
由半徑公式得：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
所以：${B}_{2}＞\frac{4mv}{q}=\frac{4×1.5×1{0}^{7}}{4.0×1{0}^{7}}=1.5$T
所以，若穿過半圓Ⅱ的邊界進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ間的磁場(chǎng)中，粒子再也不能穿出磁場(chǎng)，則B₂＞1.5T．
答：（1）半圓Ⅱ的半徑是1m；
（2）粒子在磁場(chǎng)B₁中的運(yùn)行時(shí)間是5.5×10^-8s；
（3）半圓Ⅱ、Ⅲ間磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件是B₂＞1.5T．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律與向心力的綜合運(yùn)用，理解周期與半徑公式的推導(dǎo)，畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖是解題的關(guān)鍵，注意在磁場(chǎng)中求解運(yùn)動(dòng)的時(shí)間時(shí)，除與圓心角的大小有關(guān)，與磁場(chǎng)的大小有關(guān)．