Question

（2012?許昌模擬）當前，高樓遇險逃生措施及訓練引起高度關注．有人設想在消防云梯上再伸出輕便的滑竿解救受困人員，解決云梯高度不夠高的問題．如圖所示，在一次消防演習中模擬解救被困人員，為了安全，被困人員使用安全帶上掛鉤掛在滑竿上從高樓A點沿滑桿下滑逃生．滑桿由AO、OB兩段直桿通過光滑轉軸在O處連接，將被困人員和掛鉤理想化為質點，且通過O點的瞬間沒有機械能的損失．AO長為L₁=5m，OB長為L₂=10m．豎直墻與云梯上端點B的間距d=11m．滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，可自由轉動．B端用鉸鏈固定在云梯上端．掛鉤與兩段滑桿間動摩擦因數(shù)均為μ=0.8．（g=10m/s²）
（1）若測得OB與豎直方向夾角為53°，求被困人員在滑桿AO上下滑時加速度的大小及方向？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）為了安全，被困人員到達云梯頂端B點的速度大小不能超過6m/s，若A點高度可調，豎直墻與云梯上端點B的間距d=11m不變，求滑桿兩端點A、B間的最大豎直距離？

Answer 1

分析：（1）對AO由幾何關系可求得夾角，對人受力分析可求得加速度的大小及方向；
（2）對全程由動能定理可得出重力及摩擦力做功與動能的關系，由幾何關系可求得最大距離．

解答：解：
（1）設桿OA、OB與水平方向夾角為α、β，由幾何關系：
d=L₁cosα+L₂cosβ
得出AO桿與水平方向夾角α=53°                        
由牛頓第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma                
在AO段運動的加速度：a=gsin53°-μgcos53°=3.2 m/s²     
方向沿AO桿向下．                             
（2）設滑竿兩端點AB的最大豎直距離為h，對下滑全過程由動能定理得
mgh-μmgL₁cosα′-μmgL₂cosβ′=

1

2

mv²-0     
其中d=L₁cosα′+L₂cosβ′=11，v≤6 m/s
所以：h=

v2

2g

+μd≤10.6m                          
又因為若兩桿伸直，AB間的豎直高度為
h′=

(L2+L2)2-d2

=

104

≈10.2m＜10.6m                             
所以AB間最大豎直距離應為h_m=10.2m．

點評：本題重點在于對幾何關系的認識，要注意找出題目中的臨界條件，再結合能量關系即可求出所要求的量來．