Question

14．某人造衛(wèi)星距地面高h，地球半徑為R，地面重力加速度g₀，分別用h、R、g₀表示衛(wèi)星周期T、線速度v、角速度ω．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，求得衛(wèi)星周期、線速度和角速度與軌道半徑的表示式；
在地球表面重力與萬有引力相等，由重力加速度和地球半徑求出地球質(zhì)量，再求解即可．

解答 解：設(shè)衛(wèi)星的軌道半徑為r，地球的質(zhì)量為M．則 r=R+h
根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，有：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r 
解得，衛(wèi)星運動的周期 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，線速度 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
在地球表面，由mg₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=g₀R²；
聯(lián)立解得 $T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
答：衛(wèi)星周期T、線速度v、角速度ω分別為：$T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．

點評 萬有引力應(yīng)用的兩個關(guān)鍵：一是在星球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力，掌握并靈活運用萬有引力與向心力公式是正確解題的關(guān)鍵．