Question

7．如圖所示，半徑R=0.40m的光滑半圓環(huán)軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓環(huán)與粗糙的水平地面相切于圓環(huán)的端點(diǎn)A．一質(zhì)量m=0.10kg的小球，以初速度v₀=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s²的勻減速直線運(yùn)動，求：
（1）小球若從距A點(diǎn)4.0m的C點(diǎn)出發(fā)，落地點(diǎn)離A點(diǎn)多遠(yuǎn)？
（2）要求小球能進(jìn)入圓環(huán)軌道但不脫軌，小球在地面上的出發(fā)點(diǎn)離A點(diǎn)的距離應(yīng)滿足什么條件？（取重力加速度g=10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）要求AC之間的距離應(yīng)該首先判定物體能否到達(dá)B點(diǎn)，故應(yīng)該先求出物體到達(dá)B點(diǎn)的最小速度，然后根據(jù)動能定理求出物體實際到達(dá)B點(diǎn)時的速度，由于實際速度大于最小速度，故物體到達(dá)B后做平拋運(yùn)動，最后根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出物體在平拋過程當(dāng)中水平向的位移．
（2）要使小球通過最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)由重力充當(dāng)向心力可求得速度；再對全過程由動能定理可求得水平距離．

解答 解：（1）小球向左運(yùn)動的過程中小球做勻減速直線運(yùn)動，故有
v_A²-v₀²=-2as                 
解得v_A=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2as}$=$\sqrt{49-2×3×4}$=5m/s
如果小球能夠到達(dá)B點(diǎn)，則在B點(diǎn)的最小速度v_min，
故有mg=$\frac{m{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得v_min=$\sqrt{gR}$=2m/s
而小球從A到B的過程中根據(jù)機(jī)械能守恒可得
mgh+$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得v_B=3m/s
由于V_B＞v_min
故小球能夠到達(dá)B點(diǎn)，且從B點(diǎn)作平拋運(yùn)動，
在豎直方向有
2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
在水平方向有
s_AC=v_Bt            
解得：s_AC=1.2m
故AC間的距離為1.2m．
（2）要使小球不脫離軌道，則在最高點(diǎn)應(yīng)有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v²=gR=0.4×10=4；
則設(shè)水平面上位移為x；
則應(yīng)有：
-max-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得x=4.8m；
則要使物體能通過最高點(diǎn)，小球出發(fā)點(diǎn)距A點(diǎn)應(yīng)小于4.8m；
答：（1）小球若從距A點(diǎn)4.0m的C點(diǎn)出發(fā)，落地點(diǎn)離A點(diǎn)1.2m
（2）要求小球能進(jìn)入圓環(huán)軌道但不脫軌，小球在地面上的出發(fā)點(diǎn)離A點(diǎn)的距離小于等于4.8m．

點(diǎn)評 解決多過程問題首先要理清物理過程，然后根據(jù)物體受力情況確定物體運(yùn)動過程中所遵循的物理規(guī)律進(jìn)行求解，要注意明確恰好能到達(dá)半圓軌道的最高點(diǎn)是一種臨界狀態(tài)．