Question

10．動能相等的兩人造地球衛(wèi)星A、B的軌道半徑之比R_A：R_B=1：2，它們的角速度之比ω_A：ω_B=2$\sqrt{2}$：1，質量之比m_A：m_B=1：2．若兩顆人造地球衛(wèi)星的周期之比為T₁：T₂=2：1，則它們的軌道半徑之比R₁：R₂=$\root{3}{4}$：1，向心加速度之比a₁：a₂=$\root{3}{4}$：4．

Answer 1

分析 本題的關鍵是根據牛頓第二定律列出衛(wèi)星受到的萬有引力等于需要的向心力（用角速度表示），即可求出角速度之比；根據動能公式和線速度與角速度關系即可求出兩衛(wèi)星的質量之比．
根據開普勒第三定律得出半徑關系，然后根據人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，列式求出向心加速度的表達式進行討論即可．

解答 解：由$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{R}$=mR${ω}_{\;}^{2}$
可得ω=$\sqrt{\frac{\;\;GM}{{R}_{\;}^{3}}}$，
所以$\frac{{ω}_{A}^{\;}}{{ω}_{B}^{\;}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{{R}_{A}^{3}}}$=2$\sqrt{2}$：1；
由${E}_{k}^{\;}$=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}$，及v=ωR，可得：m=$\frac{{2\;E}_{k}^{\;}}{{{ω}_{\;}^{2}R}_{\;}^{2}}$，所以$\frac{{\;m}_{A}^{\;}}{{m}_{B}^{\;}}$=$（\frac{{R}_{B}^{\;}}{{R}_{A}^{\;}}）_{\;}^{2}$•$（\frac{{ω}_{B}^{\;}}{{ω}_{A}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}$；
根據開普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=K
兩顆人造地球衛(wèi)星的周期之比為T₁：T₂=2：1，則它們的軌道半徑之比R₁：R₂=$\root{3}{4}$：1．
根據加速度a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$得
向心加速度之比a₁：a₂=$\root{3}{4}$：4
故答案為：2$\sqrt{2}$：1；1：2；$\root{3}{4}$：1；$\root{3}{4}$：4

點評 應明確求解衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的思路是地球對衛(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星需要的向心力，注意靈活選取線速度和角速度表示向心力．