Question

3．設A、B為地球赤道圓的一條直徑的兩端，利用同步衛(wèi)星將一電磁波信號由A點傳到B點，問：
（1）至少要用幾顆同步衛(wèi)星？
（2）這幾顆衛(wèi)星間的最近距離是多少？
（3）當這幾顆衛(wèi)星間的最近距離時，用這幾顆衛(wèi)星把電磁波信號由A點傳到B點需要經(jīng)歷多長時間？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對電磁波的折射．設電磁波在空氣中的傳播速度為c．

Answer 1

分析 作出電磁波傳播的路線圖，確定需要幾顆同步位置，結(jié)合幾何關系求出同步衛(wèi)星間的最近距離．根據(jù)萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)幾何關系求出P₁A和P₂B的距離，從而得出A傳播到B的路程，求出傳播的時間．

解答 解：（1）由圖可明顯地看出，為實現(xiàn)上述目的，至少需要兩顆同步衛(wèi)星，其位置在P₁、P₂，且這兩顆同步衛(wèi)星的最近距離是2R．（這兩顆衛(wèi)星分別位于圖中P₁和P₂）
（2）這兩顆衛(wèi)星間的最近距離是2R；
（3）設同步衛(wèi)星的軌道半徑為r=OP₁，則據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr\frac{{4{π^2}}}{T^2}$，
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$
解得：r=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
用這兩顆衛(wèi)星把電磁波信號由A點傳到B點需要經(jīng)歷的時間為：
$t=\frac{{2R+2{P_1}B}}{c}$
將r代入上式得：$t=\frac{2R}{c}+\frac{{2\sqrt{\root{3}{{\frac{{{g^2}{R^4}{T^4}}}{{16{π^4}}}}}-{R^2}}}}{c}$．
答：（1）至少需要兩顆同步衛(wèi)星；
（2）同步衛(wèi)星間的最近距離為2R；
（3）把電磁波信號由A傳播到B需要的時間是$\frac{2R}{c}+\frac{2\sqrt{\root{3}{\frac{{g}^{2}{R}^{4}{T}^{4}}{16{π}^{4}}-{R}^{2}}}}{c}$．

點評 解決本題的關鍵知道同步衛(wèi)星的特點，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用