Question

7．如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形軌道內做圓周運動，內側壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 小球通過最高點時的最小速度v_min=$\sqrt{gR}$
• B． 小球通過最高點時圓形軌道對小球的彈力的最大值為mg
• C． 小球在水平線ab以下的管道中運動時，速度越大外側管壁對小球的彈力一定越大
• D． 小球在水平線ab以上的管道中運動時，速度越小外側管壁對小球的彈力一定越小

Answer 1

分析 圓形管道內能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0．小球從最低點運動到最高點的過程中，只有重力做功，其機械能守恒．根據(jù)機械能守恒求出最低點的最小速度．由牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、由于圓形管道能支撐小球，所以小球能夠通過最高點時的最小速度為0．故A錯誤．
B、小球通過最高點時，根據(jù)牛頓第二定律可知${F}_{N}+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，作用力與小球的速度有關，故B錯誤；
C、小球在水平線ab以上的管道中運動時，設小球的速度為v，管道對小球的彈力大小為F，方向指向圓心，半徑與豎直方向的夾角為α．小球經過最高點的速度為v′．由牛頓第二定律得：
F-mgcosα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得F=mgcosα+m$\frac{v{′}^{2}}{R}$．，速度越大，彈力越大，故C正確
D、小球在水平線ab以上的管道中運動時，設小球的速度為v，管道對小球的彈力大小為F，方向指向圓心，半徑與豎直方向的夾角為α．小球經過最高點的速度為v′．由牛頓第二定律得：
mgcosα+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)機械能守恒得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯(lián)立得：F=2mg（1-2cosα）-m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，可知F可能為正，也可能為負，所以外側管壁對小球可能有作用力．故D錯誤．
故選：C

點評 本題中圓管模型與輕桿模型相似，抓住兩個臨界條件：一是小球恰好到達最高點時，速度為零；二是小球經過最高點與管道恰好無作用力時速度為$\sqrt{gR}$．