Question

7．如圖所示，一根長0.1m的細(xì)線，一端系著一個(gè)質(zhì)量為0.32kg的小球，拉住線的另一端，使球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增加到原轉(zhuǎn)速3倍時(shí)，測得線拉力比原來大40N，此時(shí)線突然斷裂．求：
（1）線斷裂的瞬間，線的拉力；
（2）線斷裂時(shí)小球運(yùn)動的線速度；
（3）桌面高出地面1.25m，若線斷后小球垂直桌子邊緣方向飛出，求落地點(diǎn)離桌面邊緣的水平距離？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球在水平面上做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由線的拉力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律分別對前后兩個(gè)狀態(tài)列方程，結(jié)合已知條件求解線受到的拉力大�。�
（2）根據(jù)拉力，由牛頓第二定律求出速度大小．
（3）小球離開桌面后做平拋運(yùn)動，由高度求出時(shí)間，根據(jù)x=vt求得水平位移．

解答 解：（1）線的拉力提供小球做圓周運(yùn)動的向心力，設(shè)開始時(shí)角速度為ω₀，向心力為F₀，線斷開的瞬間，角速度為ω，線的拉力為F_T．
F₀=mω₀²R…①
F_T=mω²R…②
由①②得：$\frac{{F}_{T}}{{F}_{0}}=\frac{{ω}^{2}}{{ω}_{0}^{2}}=\frac{9}{1}$…③
又因?yàn)镕_T=F₀+40 N…④
由③④得：F_T=45 N
（2）設(shè)線斷開時(shí)小球的線速度為v，由F_T=$\frac{m{v}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{\frac{{F}_{T}R}{m}}=\sqrt{\frac{45×0.1}{0.32}}m/s=3.75m/s$
（3）設(shè)桌面高度為h，小球落地經(jīng)歷時(shí)間為t，落地點(diǎn)與飛出桌面點(diǎn)的水平距離為x．
由h=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}s=0.5s$；
水平位移為：x=vt=$\frac{15}{8}$m
答：（1）線斷開前的瞬間，線受到的拉力大小為45N；
    （2）線斷開的瞬間，小球運(yùn)動的線速度為3.75 m/s；
    （3）球飛出后的落地點(diǎn)到桌邊緣的水平距離為$\frac{15}{8}$ m．

點(diǎn)評 本題是圓周運(yùn)動、平拋運(yùn)動和幾何知識的綜合應(yīng)用，情景比較簡單，對于第（3）問也可作圖理解．