Question

2．用電阻率為ρ、橫截面積為S的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb′a′．金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行，如圖1、2所示．設(shè)勻強(qiáng)磁場僅存在于相對(duì)磁極之間，其他地方的磁場忽略不計(jì)．可認(rèn)為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，當(dāng)t=0時(shí)，方框從靜止開始釋放，與底面碰撞后彈起（碰撞時(shí)間極短，可忽略不計(jì)），其速度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線如圖3所示（v₀、t₀為已知量），在下落過程中方框平面保持水平，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．試求：
（1）在0-15t₀時(shí)間內(nèi)，方框中的最大電動(dòng)勢(shì)E_m；
（2）金屬方框的質(zhì)量m；
（3）在方框第一次下落過程中通過線框橫截面的電量；
（4）估算在方框第一次反彈到最高點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析 （1）分析可知，當(dāng)方框速度最大時(shí)方框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)達(dá)到最大，根據(jù)圖象可知最大速度v_m，聯(lián)立即可求出E_m；
（2）將平衡方程、歐姆定律、電阻定律以及第一問的結(jié)果聯(lián)立，即可求解方框質(zhì)量m；
（3）將過程微分，對(duì)每個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)量定理，將每一個(gè)動(dòng)量定理做加和處理，利用I-t圖象下面積表示電量q，聯(lián)立即可就出電量q；
（4）方框第一次反彈到最高點(diǎn)的過程中運(yùn)用動(dòng)能定理，其中x為v-t圖象下面積，查格子估算即可．

解答 解：（1）線框的aa′邊和bb′邊做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬框的最大速度為v_m，
根據(jù)切割公式有：E_m=2BLv_m…①
根據(jù)圖象可知：v_m=8v₀ …②
聯(lián)立①②式可得：E_m=16BLv₀…③
（2）當(dāng)方框速度v=v_m=8v₀時(shí)，
根據(jù)平衡：mg=2BI_mL…④
歐姆定律：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$…⑤
電阻定律：R=ρ$\frac{4L}{S}$…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥式可得：m=$\frac{8{B}^{2}LS{v}_{0}}{gρ}$…⑦
（3）將方框第一次下落過程分為n個(gè)極短的小過程，設(shè)每個(gè)小過程的時(shí)間均為△t，則：n△t=13t₀
因?yàn)椤鱰極短，所以每個(gè)小過程的電流可看做為定值，設(shè)其大小分別為I₁，I₂，I₃，…I_n，對(duì)應(yīng)過程的加速度大小分別為a₁，a₂，a₃，…a_n；
針對(duì)每一個(gè)小過程對(duì)方框運(yùn)用動(dòng)量定理可得：
第1個(gè)小過程：mg△t-BLI₁△t=ma₁△t
第2個(gè)小過程：mg△t-BLI₂△t=ma₂△t
第3個(gè)小過程：mg△t-BLI₃△t=ma₃△t
…
第n個(gè)小過程：：mg△t-BLI_n△t=ma_n△t
將上述n個(gè)式子做和可得：mg•13t₀-BL（I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t）=m（a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t）…⑧
其中：I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t=q…⑨
a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t=△v=8v₀…⑩
聯(lián)立⑧⑨⑩式可得：mg•13t₀-BLq=m•8v₀
解得：q=$\frac{8BS{v}_{0}（13g{t}_{0}-8{v}_{0}）}{gρ}$
（4）設(shè)方框第一次反彈到最高點(diǎn)的過程中位移為x，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：-mgx-Q=0-$\frac{1}{2}$m${（7{v}_{0}）}^{2}$…⑪
x為v-t圖象的下面積，根據(jù)圖象可知：x=5v₀t₀ …⑫
聯(lián)立⑦⑪⑫可得：Q=$\frac{8{B}^{2}LS{v}_{0}}{gρ}（{\frac{49}{2}v}_{0}^{2}-5g{v}_{0}{t}_{0}）$
答：（1）在0-15t₀時(shí)間內(nèi)，方框中的最大電動(dòng)勢(shì)E_m為16BLv₀；
（2）金屬方框的質(zhì)量m為$\frac{8{B}^{2}LS{v}_{0}}{gρ}$；
（3）在方框第一次下落過程中通過線框橫截面的電量為$\frac{13mg{t}_{0}-8m{v}_{0}}{BL}$；
（4）估算在方框第一次反彈到最高點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的電熱為$\frac{8{B}^{2}LS{v}_{0}}{gρ}（{\frac{49}{2}v}_{0}^{2}-5g{v}_{0}{t}_{0}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體棒切割磁場的力電綜合問題，注意根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式選擇相應(yīng)的規(guī)律解決；第三問先微分再積分，大家注意理解積分的物理意義，即：求解圖象與橫軸圍成的面積；⑨⑩兩式可以用I-t圖象和a-t圖象與t軸圍成的下面積去理解，I-t圖象與t軸圍成的下面積表示流過的電量，a-t圖象與t軸圍成的下面積表示速度的變化量，第四問，求解上升位移時(shí)，利用v-t圖象的下面積表示位移，注意查格子的方法：超過半格算一個(gè)，不滿半格不查；同學(xué)們要留意下面積有物理含義并且畫出格子的圖象，基本上都會(huì)用到查格子估算的方法．